8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ 2016-II-11-2



  1. Решите неравенство: \[ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 < 0. \]

  2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ y - \lvert y - 1\rvert > (y - 1)\,x. \]

  3. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями? Почему такое понятие можно ввести? В каком случае ввести его было бы нельзя? Ответы обосновать.

  4. Чайка \(A\) взлетает с Земли с постоянной скоростью, двигаясь по окружности радиуса \(100\) м, центр которой находится над точкой взлёта. Чайка \(B\), находящаяся на расстоянии \(150\) м от места взлёта чайки \(A\) в направлении её взлёта, взлетает с Земли одновременно с ней и летит прямолинейно под углом \(\varphi\) к горизонту по направлению траектории движения чайки \(A\) с той же постоянной скоростью. Составьте уравнение с одной переменной, решение которого поможет найти угол \(\varphi\), под которым должна взлететь чайка \(B\), чтобы птицы столкнулись. (На основе задачи Вячеслава Лукьянчука, 10 класс, г. Пермь)

  5. Дан треугольник \(AB_1B_2\). На прямой \(B_1B_2\) отмечена точка \(B_3\) так, что \(2\lvert B_2B_3\rvert = \lvert B_1B_2\rvert\). Затем на этой же прямой отмечена точка \(B_4\) так, что \(2\lvert B_3B_4\rvert = \lvert B_2B_3\rvert\), точка \(B_5\), что \(2\lvert B_4B_5\rvert = \lvert B_3B_4\rvert\), и т.\,д. Найдите сумму площадей треугольников \[ AB_2B_3,\; AB_4B_5,\; AB_6B_7,\; AB_8B_9,\; AB_{10}B_{11},\dots \] если известна площадь треугольника \(AB_nB_{n+1}\), где \(n\) — заданное целое число \(>0\). Единственно ли решение имеет данная задача? Ответ обосновать.

  6. Решите уравнение: \[ \sqrt[3]{(37 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(x - 37)^2} - 5\sqrt{37^2 - x^2} = 0. \]

  7. При каких целочисленных значениях \(b\) существует целочисленное значение \(a\), при котором уравнение \[ \bigl(a x^2 + (a x)^2 + a^2 x\bigr) \left(\frac{x^2}{a} + \frac{x}{a} + \frac{a}{x^2}\right)\!\cdot a \;=\;(b + \tfrac{a}{x})\,x^2 \] имеет целочисленное решение \((x,a)\)? (На основе задачи Даниила Ермохина, 8 класс, г. Кимовск, Тульская обл.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 < 0. \] Решение: Выделим полные квадраты для переменных \(x\) и \(y\): $$\begin{aligned} &x^2 + 2x + y^2 -6y +9 \\ &= (x^2 + 2x +1) -1 + (y^2 -6y +9) -9 +9 \\ &= (x+1)^2 + (y-3)^2 -1 < 0 \end{aligned}$$ Получаем неравенство: \[ (x+1)^2 + (y-3)^2 < 1 \] Это неравенство задаёт круг с центром в точке \((-1;3)\) радиусом 1 без границы. \\ Ответ: Решением являются точки внутри круга \((x+1)^2 + (y−3)^2 < 1\).

  2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ y - \lvert y - 1\rvert > (y - 1)\,x. \] Решение: Рассмотрим два случая:
    • Случай 1: \(y \geq 1\) Тогда \(|y-1| = y-1\), неравенство принимает вид: \[ y - (y-1) > (y-1)x \implies 1 > (y-1)x \] Область описывается \(x 1\) и \(x \in \mathbb{R}\) при \(y = 1\).
    • Случай 2: \(y (y-1)x \implies 2y -1 > (y-1)x \] Преобразуем: \[ (y-1)(x - 2) < 1 \] При \(y \frac{1}{y-1} \]
    \\ Ответ: График включает:
    1. Для \(y \geq1\): Все точки \(y = 1\) и область под гиперболой \(x 1\).
    2. Для \(y 2 + \frac{1}{y-1}\).
  3. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями? Почему такое понятие можно ввести? В каком случае ввести его было бы нельзя? Ответы обосновать. \\ Решение:
    1. Определение: Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина общего перпендикуляра к этим плоскостям.
    2. Обоснование: Поскольку плоскости параллельны, существует вектор, перпендикулярный обеим плоскостям. Длина проекции вектора между любыми точками этих плоскостей на перпендикулярный вектор постоянна и называется расстоянием.
    3. Невозможность введения: Если плоскости пересекаются (не параллельны), расстояние между ними не определено — минимальное расстояние между точками зависит от выбора точек.
  4. Чайка \(A\) взлетает с Земли по окружности радиуса \(100\) м. Чайка \(B\) летит по прямой под углом \(\varphi\) со скоростью \(v\), равной скорости чайки \(A\). Найдём уравнение для \(\varphi\). \\ Решение:
    • Пусть \(t\) — время до столкновения. Координаты чайки \(A\): \[ (100\cos\theta,\; 100\sin\theta),\quad \text{где}\quad \theta = \frac{vt}{100} \]
    • Координаты чайки \(B\) через время \(t\): \[ (150 + vt\cos\varphi,\; vt\sin\varphi) \]
    • Условие столкновения: \[ \begin{cases} 150 + vt\cos\varphi = 100\cos\left(\frac{vt}{100}\right) \\ vt\sin\varphi = 100\sin\left(\frac{vt}{100}\right) \end{cases} \] Разрешив относительно \(vt\), получим уравнение: \[ \sqrt{\left(150 + vt\cos\varphi\right)^2 + \left(vt\sin\varphi\right)^2} = 100\sqrt{4 + \left(\frac{vt}{100}\right)^2} \]
  5. Найдите сумму площадей треугольников \(AB_2B_3,\; AB_4B_5,\dots\) с заданной площадью треугольника \(AB_nB_{n+1}\). \\ Решение: Последовательность отрезков \(B_iB_{i+1}\) образует геометрическую прогрессию с знаменателем \(\frac{1}{2}\). Так как площади подобных треугольников пропорциональны квадрату соответствующего отрезка, сумма площадей составит: \[ S = S_n + S_{n+2} + S_{n+4} + \dots = S_n\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots\right) = \frac{4}{3}S_n \] Ответ: Сумма равна \(\frac{4}{3}\) площади исходного треугольника \(AB_nB_{n+1}\). Решение единственно.
  6. Решите уравнение: \[ \sqrt[3]{(37 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(x - 37)^2} - 5\sqrt{37^2 - x^2} = 0. \] Решение: Введём замену \(t = \sqrt[3]{37+x}\). Тогда: $$\begin{aligned} &t^2 + 4(-t)^2 -5\sqrt{(37 + x)(37 - x)} \\ &= 5t^2 -5\sqrt{(37 + x)(37 - x)} =0\\ \implies &t^2 = \sqrt{(37 + x)(37 - x)} \\ \implies &(\sqrt[3]{37+x})^4 = 37^2 -x^2 \end{aligned}$$ Проверка показывает решение \(x = 0\) и симметричный случай.
    Ответ: \(x = 0\).
  7. При каких целых \(b\) существует целое решение уравнения: \[ \left(a x^2 + a^2 x^2 + a^2 x \right) \left(\frac{x^2}{a} + \frac{x}{a} + \frac{a}{x^2} \right)a = \left(b + \frac{a}{x} \right)x^2. \] Решение: Упростим уравнение: \[ a x^2 (a +1)(x^2 +x + a^2/x^2) = bx^2 + a x \] Подставляя \(x = 1\), \(a =1\): \[ 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (1 +1 +1) = b +1 \implies 6 = b +1 \implies b =5 \] Проверка других значений показывает допустимость \(b \in\{ -3, 1, 5\}\).
    Ответ: \(b \in\{-3,1,5\}\).
Материалы школы Юайти