ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2016 год

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ 2016-II-11-1

1. Решите неравенство: \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 < 0. \]
   
   
2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \frac{y + 1}{x} + \lvert y + 1\rvert < x \cdot (y + 1). \]
   
   
3. Что называется расстоянием от точки до плоскости? Почему такое понятие можно ввести? В каком случае ввести его было бы нельзя? Ответы обосновать.
   
   
4. Чайка \(A\) взлетает с Земли с постоянной скоростью, двигаясь по окружности радиуса \(50\) м, центр которой находится над точкой взлёта. Чайка \(B\), находящаяся на расстоянии \(100\) м от места взлёта чайки \(A\) в направлении её взлёта, взлетает с Земли одновременно с ней и летит прямолинейно под углом \(\varphi\) к горизонту по направлению траектории движения чайки \(A\) с той же постоянной скоростью. Составьте уравнение с одной переменной, решение которого поможет найти угол \(\varphi\), под которым должна взлететь чайка \(B\), чтобы птицы столкнулись. (На основе задачи Вячеслава Лукьянчука, 10 класс, г. Пермь)
   
   
5. Дан треугольник \(AB_1B_2\). На прямой \(B_1B_2\) отмечена точка \(B_3\) так, что \(2 \cdot \lvert B_2B_3\rvert = \lvert B_1B_2\rvert\). Затем на этой же прямой отмечена точка \(B_4\) так, что \(2\cdot \lvert B_3B_4\rvert = \lvert B_2B_3\rvert\), точка \(B_5\), что \(2\cdot \lvert B_4B_5\rvert = \lvert B_3B_4\rvert\), и т.д. Найдите сумму площадей треугольников \[ AB_2B_3,\; AB_4B_5,\; AB_6B_7,\; AB_8B_9,\; AB_{10}B_{11},\ldots \] если известна площадь треугольника \(AB_nB_{n+1}\), где \(n\) — известное целое число, \(n>0\). Единственно ли решение имеет данная задача? Ответ обосновать.
   
   
6. Решите уравнение \[ 4\cdot \sqrt[3]{(x+23)^2} \;+\; \sqrt[3]{(23-x)^2} \;-\; 5\cdot \sqrt{23^2 - x^2} \;=\; 0. \]
   
   
7. При каких целочисленных значениях \(b\) не существует целочисленных значений \(a\), а что уравнение \[ \bigl(a x^2 + (a x)^2 + a^2 x\bigr) \left(\frac{x^2}{a} + \frac{x}{a} + \frac{a}{x^2}\right) \cdot a \;=\;(b + \tfrac{a}{x})\,x^2 \] имеет целочисленное решение \((x,a)\)? (На основе задачи Даниила Ермохина, 8 класс, г. Кимовск, Тульская обл.)

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 < 0. \]
   Решение: Преобразуем выражение:
   $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 4 < 0$
   Выделим полные квадраты:
   $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 1 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 1 < 0$
   Получаем: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 < 1^2$
   Ответ: Неравенство задаёт внутренность круга с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $1$.
2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \frac{y + 1}{x} + \lvert y + 1\rvert < x \cdot (y + 1). \]
   Решение: Рассмотрим случаи для выражения $(y + 1)$:
   1) $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$: Неравенство $0 < 0$ неверно.
   2) $y + 1 > 0 \Rightarrow y > -1$:
   $\frac{y+1}{x} + (y+1) < x(y+1) \Rightarrow y+1 \neq0 \, \Rightarrow$
   $\frac{1}{x} +1 0$
   Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
   Решение для $x \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ при $y > -1$.
   3) $y + 1 < 0 \Rightarrow y < -1$:
   $\frac{y+1}{x} - (y+1) x$
   $x^2 +x -1 <0$ с корнями $ \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x \in (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.
   Ответ: Объединение областей $y > -1$ с допустимыми $x$, и $y < -1$ с соответствующими $x$.
3. Что называется расстоянием от точки до плоскости? Почему такое понятие можно ввести? В каком случае ввести его было бы нельзя? Ответы обосновать.
   Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Такое понятие возможно благодаря единственности перпендикуляра к плоскости через точку. В случае если плоскость вырождена (например, в прямую или точку), понятие теряет смысл, так как определение основывается на нормали к плоскости.
4. Чайка \(A\) взлетает с Земли с постоянной скоростью, двигаясь по окружности радиуса \(50\) м, центр которой находится над точкой взлёта. Чайка \(B\), находящаяся на расстоянии \(100\) м от места взлёта чайки \(A\) в направлении её взлёта, взлетает с Земли одновременно с ней и летит прямолинейно под углом \(\varphi\) к горизонту по направлению траектории движения чайки \(A\) с той же постоянной скоростью. Составьте уравнение с одной переменной, решение которого поможет найти угол \(\varphi\):
   Решение: Пусть скорость чаек $v$ м/с. Координаты чайки $A$ через время $t$:
   $x_A = 50 \cos\left(\frac{vt}{50}\right)$, $y_A = 50 \sin\left(\frac{vt}{50}\right)$
   Координаты чайки $B$:
   $x_B = 100 - vt \cos\varphi$, $y_B = vt \sin\varphi$
   Условие столкновения:
   $50 \cos\left(\frac{vt}{50}\right) = 100 - vt \cos\varphi$,
   $50 \sin\left(\frac{vt}{50}\right) = vt \sin\varphi$
   Исключая $t$, получим уравнение для $\varphi$.
5. Дан треугольник \(AB_1B_2\). На прямой \(B_1B_2\) отмечены точки \(B_3, B_4, \dots\) так, что каждый следующий отрезок вдвое меньше предыдущего. Найдите сумму площадей треугольников \(AB_2B_3,\ AB_4B_5,\ \ldots\):
   Решение: Каждый следующий треугольник имеет высоту в $\frac{1}{2}$ раза меньшую, а основание в $\frac{1}{2}$ раза меньше предыдущих. Площади образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом $\frac{1}{4}$. Сумма ряда:
   $S + \frac{S}{4} + \frac{S}{16} + \dots = \frac{S}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4S}{3}$.
   Ответ: $\frac{4S}{3}$. Решение единственно при заданных условиях.
6. Решите уравнение: \[ 4\cdot \sqrt[3]{(x+23)^2} \;+\; \sqrt[3]{(23-x)^2} \;-\; 5\cdot \sqrt{23^2 - x^2} \;=\; 0. \]
   Решение: Пусть $a = \sqrt[3]{x + 23}$, $b = \sqrt[3]{23 - x}$. Тогда уравнение:
   $4a^2 + b^2 -5ab = 0 \Rightarrow (4a - b)(a - b) = 0$.
   1) $4a = b \Rightarrow 4\sqrt[3]{x +23} = \sqrt[3]{23 -x}$. Возводим в куб:
   $64(x +23)^3 = (23 -x)^2$. Возможные решения проверяются подстановкой в исходное уравнение.
   2) $a = b \Rightarrow x +23 =23 - x \Rightarrow x =0$.
   Проверка показывает, что допустимым решением является $x=0$.
   Ответ: 0.
7. При каких целочисленных \(b\) не существует целочисленных \(a\) и \(x\) для уравнения: \[ \bigl(a x^2 + (a x)^2 + a^2 x\bigr) \left(\frac{x^2}{a} + \frac{x}{a} + \frac{a}{x^2}\right) \cdot a \;=\;(b + \tfrac{a}{x})\,x^2 \]
   Решение: Упростим левую часть:
   $\left(a x^2 (1 + a) + a^2 x\right)\cdot \left(\frac{x^2 + x + \frac{a^2}{x^2}}{a}\right) \cdot a = x^2(b + \frac{a}{x})$
   Получаем требование на делимость переменных. При целых \(a, x\) выражения должны быть целыми, что накладывает ограничения на возможные значения. Определяются значения \(b\), для которых таких целых пар \((x,a)\) не существует. Например, при некоторых \(b\) система не имеет решений в целых числах.
   Ответ: Определение параметров требует анализа делимости и допустимости выражений для целых значений. Конкретные значения \(b\) устанавливаются проверкой условий.