ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2016 год

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ 2016-11-2

1. Выразите \(y\) через \(x\) из соотношения \[ x = 4y\sqrt{\,y\,} - y^3. \] Определяет ли данное соотношение функцию \(y(x)\)?
   
   
2. Найдите максимальный объём правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса \(R\).
   
   
3. Найдите область определения и множество значений функции \[ f(x)=x + \frac{x}{1 - \lvert x \rvert} + \frac{x}{(1 - \lvert x \rvert)^2} + \dots \] и постройте её график.
   
   
4. Дайте определение точки минимума. Верно ли, что если производная функции в некоторой точке равна нулю, то данная точка является точкой экстремума? Имеет ли функция \(y=\lvert a\rvert\) точки экстремума? Ответы обосновать.
   
   
5. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал автомобиль, через 1 час за ним из пункта \(A\) выехал второй автомобиль, а ещё через 2 часа из пункта \(B\) в пункт \(A\) выехал трактор. Оба автомобиля, доехав до пункта \(B\), развернулись и поехали обратно; при этом первый автомобиль вернулся в пункт \(A\) на 3 часа раньше второго, а второй — на 3 часа раньше трактора. Все транспортные средства движутся с постоянной скоростью. Выразите скорости второго автомобиля и трактора через скорость первого автомобиля, если известно, что трактор и первый автомобиль находились на одном расстоянии от пункта \(A\) через 2 часа после начала движения трактора, а трактор и второй автомобиль — через 3 часа после начала движения второго автомобиля.
   
   
6. Решите неравенство: \[ 2x - a \;\le\;\sqrt{a^2 - x^2}. \]
   
   
7. Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, вам поставили задачу спроектировать крышку в форме квадрата вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка вы бы предъявили?

Решения задач

1. Выразите \( y \) через \( x \) из соотношения \( x = 4y\sqrt{\,y\,} - y^3 \). Определяет ли данное соотношение функцию \( y(x) \)?
   Решение:
   Пусть \( t = \sqrt{y} \), тогда \( y = t^2 \). Подставим в уравнение: \[ x = 4t^2 \cdot t - (t^2)^3 = 4t^3 - t^6 \implies t^6 - 4t^3 + x = 0. \] Замена \( z = t^3 \): \[ z^2 - 4z + x = 0 \implies z = 2 \pm \sqrt{4 - x}. \] Возвращаемся к \( t \): \[ t^3 = 2 \pm \sqrt{4 - x} \implies t = \sqrt[3]{2 \pm \sqrt{4 - x}}. \] Тогда \( y = t^2 = \left(\sqrt[3]{2 \pm \sqrt{4 - x}}\right)^2 \).
   Соотношение не определяет функцию \( y(x) \), так как каждому значению \( x \) соответствует два возможных \( y \).
   Ответ: \( y = \left(\sqrt[3]{2 \pm \sqrt{4 - x}}\right)^2 \). Данное соотношение не является функцией.
   
   
2. Найдите максимальный объём правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса \( R \).
   Решение:
   Пусть сторона основания пирамиды \( a \), высота \( h \). Все вершины лежат на сфере. Центр сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего вершину пирамиды \( S \) и центр основания \( O \). Рассмотрим треугольник \( SOK \), где \( K \) — вершина основания: \[ SK^2 = SO^2 + OK^2 \implies R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2. \] Отсюда \( \frac{a^2}{2} = R^2 - \frac{h^2}{4} \implies a^2 = 2R^2 - \frac{h^2}{2} \). Объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{3}a^2 h = \frac{1}{3}\left(2R^2 - \frac{h^2}{2}\right)h = \frac{2R^2 h}{3} - \frac{h^3}{6}. \] Максимизируем \( V \) через производную: \[ \frac{dV}{dh} = \frac{2R^2}{3} - \frac{h^2}{2} = 0 \implies h = \frac{2R}{\sqrt{3}}. \] Тогда \( a = \sqrt{2R^2 - \frac{ \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 }{2}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \). Объём: \[ V = \frac{1}{3} \left(\frac{4R^2}{3}\right) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{8R^3}{9\sqrt{3}}. \] Ответ: \( \frac{8R^3}{9\sqrt{3}} \).
   
   
3. Найдите область определения и множество значений функции \( f(x)=x + \frac{x}{1 - \lvert x \rvert} + \frac{x}{(1 - \lvert x \rvert)^2} + \dots \). Постройте её график.
   Решение:
   Ряд является геометрической прогрессией с \( a = x \), знаменатель \( q = \frac{1}{1 - |x|} \).
   Условие сходимости: \( |q| < 1 \implies \left|\frac{1}{1 - |x|}\right| 1 \). Решение: \( |x| > 2 \).
   Сумма ряда (\( S \)): \[ S = \frac{x}{1 - \frac{1}{1 - |x|}} = \frac{x(1 - |x|)}{-|x|} = \begin{cases} x - 1, & x > 2, \\ x + 1, & x < -2. \end{cases} \] Область определения: \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \).
   Множество значений: \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \).
   График: прямые \( y = x - 1 \) при \( x > 2 \) и \( y = x + 1 \) при \( x < -2 \).
   
   
4. Дайте определение точки минимума. Верно ли, что если производная функции в некоторой точке равна нулю, то данная точка является точкой экстремума? Имеет ли функция \( y = |x| \) точки экстремума?
   Решение:
   Точка минимума — точка \( x_0 \), в которой \( f(x) \geq f(x_0) \) для всех \( x \) из некоторой окрестности \( x_0 \).
   Если \( f'(x_0) = 0 \), точка не обязательно является экстремумом (пример: \( y = x^3 \) в \( x = 0 \)).
   Функция \( y = |x| \) имеет минимум в точке \( x = 0 \).
   Ответ: Нет, не верно. Точка нулевой производной может быть точкой перегиба. У функции \( y = |x| \) есть минимум в \( x = 0 \).
   
   
5. Выразите скорости второго автомобиля и трактора через скорость первого автомобиля.
   Решение:
   Пусть скорость первого автомобиля \( v_1 \), второго \( v_2 \), трактора \( u \). Расстояние между пунктами \( S \).
   Условия на время возврата: \[ \frac{2S}{v_1} = \frac{2S}{v_2} - 2 \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{S}. \] Условие встречи через 2 часа после старта трактора: \[ 5v_1 - S = S - 2u \implies 5v_1 + 2u = 2S. \] Решая систему уравнений, получаем: \[ v_2 = 2v_1, \quad u = \frac{v_1}{3}. \] Ответ: \( v_2 = 2v_1 \), \( u = \frac{v_1}{3} \).
   
   
6. Решите неравенство: \( 2x - a \leq \sqrt{a^2 - x^2} \).
   Решение:
   Область определения: \( a^2 - x^2 \geq 0 \implies x \in [-|a|, |a|] \).
   При \( a \geq 0 \):
   Рассмотрим два случая: \( 2x - a \leq 0 \) и \( 2x - a > 0 \). Решения: \[ x \leq \frac{a}{2} \quad \text{и} \quad x \in \left[\frac{a}{2}, \frac{4a}{5}\right]. \] Общее решение: \( x \in [-a, \frac{4a}{5}] \). При \( a < 0 \):
   Аналогичные рассуждения приводят к решению \( x \in [-|a|, \frac{4a}{5}] \).
   Ответ: \[ x \in \begin{cases} [-a, \frac{4a}{5}], & a \geq 0, \\ [-|a|, \frac{4a}{5}], & a < 0. \end{cases} \]
   
   
7. Почему крышки канализационных люков круглые? Требования к квадратной крышке.
   Ответ:
   Круглая форма предотвращает падение крышки в колодец, так как диаметр крышки равен максимальному размеру отверстия. Для квадратной крышки необходимо, чтобы её диагональ превышала диаметр отверстия. Требование: сторона квадрата должна быть больше \( \sqrt{2} \) диаметра отверстия для предотвращения проваливания.