ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-III-11-2

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ 2015-III-11-2

1. Верно ли, что среднее арифметическое квадратов двух последовательных натуральных чисел больше квадрата среднего арифметического этих натуральных чисел? Для каких функций среднее арифметическое их значений в двух последовательных натуральных числах больше значения функции в среднем арифметическом этих чисел?
   
   
2. Предложите хотя бы одно разбиение правильного гексаэдра на 4 равновеликие части тремя параллельными плоскостями, не параллельными граням данного гексаэдра.
   
   
3. Постройте график функции: \[ f(x) = x - \frac{1}{x}. \]
   
   
4. 1. В одном из учебников приводится следующее определение: «The function \(u\) is said to be periodic with period \(a\neq 0\) if \(u(x+a)=u(x)\) for each \(x\in\mathbb{R}\)». Согласны ли Вы с ним? Если нет, то как бы Вы его скорректировали?
   2. Может ли произведение двух функций, о которых говорится в предыдущем пункте, не являться функцией такого типа?
   
   
   
5. Пять двоечников получают пять двоек за пять дней. Сколько двоек получат десять двоечников за десять дней?
   
   
6. При каких неотрицательных значениях параметра \(a\) решением неравенства \[ x + 6 - a > \sqrt{a^2 - x^2} \] является интервал, длина которого больше 2?
   
   
7. Решите неравенство: \[ \sin x < \cos x - \sin 3x. \]

Решения задач

1. Для двух последовательных натуральных чисел \(n\) и \(n+1\) найдем среднее арифметическое их квадратов и квадрат их среднего арифметического: \[ \frac{n^2 + (n+1)^2}{2} = n^2 + n + \frac{1}{2} \] \[ \left(\frac{n + (n+1)}{2}\right)^2 = \left(n + \frac{1}{2}\right)^2 = n^2 + n + \frac{1}{4} \] Отсюда \(\frac{n^2 + (n+1)^2}{2} > \left(\frac{2n+1}{2}\right)^2\), что верно для всех натуральных \(n\). Для вогнутых функций среднее арифметическое значений в двух точках превышает значение функции в их среднем арифметическом. Ответ: Да, верно для всех последовательных натуральных чисел. Такие функции являются вогнутыми.
2. Предложим разбиение куба на 4 равных объёма тремя параллельными плоскостями, пересекающими пространственную диагональ в точках, делящих её на 4 равные части. Каждая плоскость перпендикулярна диагонали, что обеспечит равновеликие сегменты. Ответ: Разрежьте куб тремя плоскостями, перпендикулярными пространственной диагонали и делящими её на четыре равных отрезка.
3. Функция \(f(x) = x - \frac{1}{x}\) имеет область определения \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
   • Пересечения с осями: \((1, 0)\) и \((-1, 0)\).
   • Асимптоты: вертикальная \(x = 0\), наклонная \(y = x\) при \(x \rightarrow \pm \infty\).
   • Производная \(f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 0\), функция возрастает во всей области определения.
   • Точки перегиба отсутствуют. График симметричен относительно начала координат.
   
   
   
4. 1. Определение периодической функции верно: период может быть любым положительным числом, удовлетворяющим условию \(u(x + a) = u(x)\). Минимальный период требуется указывать отдельно. Ответ: Определение корректно.
   2. Произведение периодических функций с несоизмеримыми периодами (например, \(\sin(x)\) и \(\sin(\sqrt{2}x)\)) не будет периодическим, так как отсутствует общий период. Ответ: Да, может.
   
   
   
5. Пропорциональность задач показывает: 5 двоечников \(\times\) 5 дней = 25 уч.-дней дают 5 двоек. Тогда 10 двоечников \(\times\) 10 дней = 100 уч.-дней дадут \(\frac{5 \times 100}{25} = 20\) двоек. Ответ: 20.
6. При \(a \geq 0\) неравенство \(x + 6 - a > \sqrt{a^2 - x^2}\) исследовано. Длина интервала решений: \[ \begin{cases} a \geq 3 & \text{длина } 6 \\ 1 < a < 6(\sqrt{2} - 1) & \text{длина } 2a \end{cases} \] Отсюда \(a \in (1, 6\sqrt{2} - 6) \cup [3, \infty)\). Ответ: \(a \in (1, 6\sqrt{2} - 6) \cup [3, +\infty)\).
7. Преобразуем неравенство \(\sin x < \cos x - \sin 3x\): \[ \sin x + \sin 3x < \cos x \implies \cos x (2 \sin 2x - 1) < 0 \] Решения: \[ x \in \bigcup_{m \in \mathbb{Z}} \left( \left(\frac{\pi}{12} + 2\pi m, \frac{5\pi}{12} + 2\pi m\right) \cup \left(\frac{13\pi}{12} + 2\pi m, \frac{17\pi}{12} + 2\pi m\right) \right) \]