8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-II-11-2

Сложность:
Дата экзамена: 2015
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ 2015-II-11-2



  1. Чему равен наименьший член последовательности \(\{\sin n\}\) при \(n=1,2,3,\dots\)? Ответ обосновать.
  2. Моторная лодка поднялась по реке, вытекающей из озера, а потом проплыла по озеру. Расстояние, пройденное лодкой по реке, на \(15\%\) больше расстояния, пройденного по озеру. Скорость лодки по реке на \(8\%\) меньше, чем по озеру. На сколько процентов время движения лодки вверх по реке больше времени движения по озеру?

  3. Дайте определение обратной функции. Имеет ли обратную функцию \(y=\cos x\)? Постройте графики следующих функций: \[ y=\arccos x,\quad y=\cos\bigl(\arccos x\bigr),\quad y=\arccos\bigl(\cos x\bigr). \]

  4. В основании прямоугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны высоте пирамиды. Центры окружностей, вписанных во все боковые грани пирамиды, лежат в плоскости, параллельной плоскости основания. Вычислите высоту пирамиды, если основание треугольника в основании пирамиды равно \(a\).

  5. Могут ли числа \(\sqrt{3},\sqrt{5}\) и \(\sqrt{7}\) являться членами одной арифметической прогрессии? Ответ обосновать.

  6. При каких значениях \(y\) существует хотя бы одно \(x\), совместно с \(y\) являющееся решением системы \[ \begin{cases} y - x > 4,\\ x\,y + 3 > 0, \end{cases} \] и при каком наибольшем значении \(y\) решение данной системы удовлетворяет условию \(\sqrt{\,y - x\,}=0\)?

  7. Решите уравнение: \[ x \;=\; \frac{7}{\displaystyle 6 \;-\; \frac{5}{\displaystyle 4 \;-\; \frac{3}{\displaystyle 2 \;-\;\frac{1}{x} } } }. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Чему равен наименьший член последовательности \(\{\sin n\}\) при \(n=1,2,3,\dots\)? Ответ обосновать.
    Решение: Рассмотрим последовательность \(\sin n\) для \(n \in \mathbb{N}\). Поскольку углы в радианах \(\alpha_n = n \, \text{mod}\, (2\pi)\), а множество \(\{n \, \text{mod}\, (2\pi)\}\) плотно заполняет интервал \([0, 2\pi)\), значения \(\sin n\) плотны в интервале \([-1, 1]\). Точная нижняя грань данной последовательности равна \(-1\). Однако достижимость этого значения требует выполнения условия \(n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\) для \(k \in \mathbb{Z}\), что невозможно для натуральных \(n\). Следовательно, точное минимальное значение не достигается. Однако в силу плотности для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(n\), такое что \(\sin n < -1 + \varepsilon\). Таким образом, точной нижней гранью является \(-1\), но наименьшего члена в последовательности не существует.
    Ответ: Наименьшего члена не существует, точная нижняя грань равна \(-1\).

  2. Моторная лодка поднялась по реке, вытекающей из озера, а потом проплыла по озеру. Расстояние, пройденное лодкой по реке, на \(15\%\) больше расстояния, пройденного по озеру. Скорость лодки по реке на \(8\%\) меньше, чем по озеру. На сколько процентов время движения лодки вверх по реке больше времени движения по озеру?
    Решение: Пусть расстояние по озеру равно \(S\), тогда расстояние по реке — \(1,15S\). Скорость по озеру \(v\), тогда скорость против течения реки — \(0,92v\). Время движения по озеру \(t_{\text{оз}} = \frac{S}{v}\). Время движения по реке \(t_{\text{р}} = \frac{1,15S}{0,92v} = \frac{1,15}{0,92} \cdot \frac{S}{v} = 1,25 t_{\text{оз}}\). Следовательно, время по реке больше на \(25\%\).
    Ответ: На \(25\%\).

  3. Дайте определение обратной функции. Имеет ли обратную функцию \(y=\cos x\)? Постройте графики следующих функций: \[ y=\arccos x,\quad y=\cos\bigl(\arccos x\bigr),\quad y=\arccos\bigl(\cos x\bigr). \]
    Решение: Обратная функция \(f^{-1}(x)\) к функции \(f(x)\) определена только для биективной \(f\), если каждому \(y\) из области значений соответствует ровно один \(x\) такой, что \(f(x) = y\). Функция \(y = \cos x\) не имеет обратной на всей области определения из-за неоднозначности, но при ограничении \(x \in [0; \pi]\) обратная функция существует — \(y = \arccos x\).
    [0.3cm] Графики:
    • \(y = \arccos x\) — убывает от \(\pi\) до \(0\) при \(x\) от \(-1\) до \(1\).
    • \(y = \cos(\arccos x)\) совпадает с \(y = x\) при \(x \in [-1; 1]\).
    • \(y = \arccos(\cos x)\) — периодическая функция с периодом \(2\pi\), равная \(|x - 2\pi k|\) для \(x \in [2\pi k - \pi; 2\pi k + \pi]\), \(k \in \mathbb{Z}\).
    Ответ: Обратная функция существует при ограничении \(\cos x\) на \([0; \pi]\). Графики описаны выше.

  4. В основании прямоугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны высоте пирамиды. Центры окружностей, вписанных во все боковые грани пирамиды, лежат в плоскости, параллельной плоскости основания. Вычислите высоту пирамиды, если основание треугольника в основании пирамиды равно \(a\).
    Решение: Пусть высота пирамиды \(H\). Основание пирамиды — равнобедренный треугольник \(ABC\) (\(AB = BC = H\), \(AC = a\)). Боковые грани пирамиды — прямоугольные треугольники (пирамида прямоугольная).
    Центр вписанной окружности в прямоугольном треугольнике находится на расстояниях \(r\) от катетов: \(r = \frac{a + b - c}{2}\), где \(a\), \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза. Для грани \(SAB\) (где \(S\) — вершина пирамиды) радиус вписанной окружности \(r_1 = \frac{H + H - a}{2} = \frac{2H - a}{2}\). Координата центра вдоль высоты: \(r_1\). Аналогично для других граней. Условие параллельности плоскости центров плоскости основания: \(r_1 = r_2 = r_3\). Из равенства радиусов \( \frac{2H - a}{2} = H - \sqrt{H^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\). Решая уравнение, получим \(H = \frac{a}{2}\).
    Ответ: \(\frac{a}{2}\).

  5. Могут ли числа \(\sqrt{3},\sqrt{5}\) и \(\sqrt{7}\) являться членами одной арифметической прогрессии? Ответ обосновать.
    Решение: Предположим, что да. Тогда для некоторого начального члена \(a\) и разности \(d\): \[ \begin{cases} \sqrt{3} = a + m d, \\ \sqrt{5} = a + n d, \\ \sqrt{7} = a + k d, \end{cases} \] где \(m, n, k \in \mathbb{N}\). Вычитая уравнения, получим: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = (n - m)d, \quad \sqrt{7} - \sqrt{5} = (k - n)d. \] Отношение этих разностей должно быть рациональным: \[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \approx \frac{2,236 - 1,732}{2,645 - 2,236} ≈ \frac{0,504}{0,409} ≈ 1,23. \] Это иррациональное число, что противоречит требованию рациональности отношения для членов арифметической прогрессии.
    Ответ: Нет, не могут.

  6. При каких значениях \(y\) существует хотя бы одно \(x\), совместно с \(y\) являющееся решением системы \[ \begin{cases} y - x > 4,\\ x\,y + 3 > 0, \end{cases} \] и при каком наибольшем значении \(y\) решение данной системы удовлетворяет условию \(\sqrt{\,y - x\,}=0\)?
    Решение:
    • Условие \(\sqrt{y - x} = 0\) выполняется при \(y = x\). Тогда система принимает вид: \[ \begin{cases} 0 > 4, \\ y^2 + 3 > 0. \end{cases} \] Первое неравенство неверно, поэтому таких \(y\) не существует.
    • Общее решение системы: \[ x -\frac{3}{y} \quad (y \neq 0). \] При \(y > 0\): \( -\frac{3}{y} 2\). При \(y < 0\): \( -\frac{3}{y} 0 \), решая получаем \( y < 2 - \sqrt{7}\).
      Ответ: \(y \in (-\infty; 2 - \sqrt{7}) \cup (2; +\infty)\); наибольшего \(y\) с условием \(\sqrt{y - x} = 0\) не существует.

    • Решите уравнение: \[ x \;=\; \frac{7}{\displaystyle 6 \;-\; \frac{5}{\displaystyle 4 \;-\; \frac{3}{\displaystyle 2 \;-\;\frac{1}{x} } } }. \]
      Решение: Последовательно упростим уравнение: \[ 2 - \frac{1}{x} = \frac{2x - 1}{x}, \] \[ \frac{3}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{3x}{2x - 1}, \] \[ 4 - \frac{3x}{2x - 1} = \frac{5x - 4}{2x - 1}, \] \[ \frac{5}{4 - \frac{3x}{2x - 1}} = \frac{5(2x -1)}{5x -4}, \] \[ 6 - \frac{5(2x -1)}{5x -4} = \frac{20x -19}{5x -4}, \] \[ x = \frac{7(5x -4)}{20x -19} \implies 20x^2 -19x = 35x -28 \implies 20x^2 -54x +28 =0. \] Дискриминант \(D = 54^2 -4 \cdot 20 \cdot 28 = 2916 -2240 = 676 = 26^2\), корни: \[ x = \frac{54 \pm26}{40} = \frac{80}{40} = 2, \quad \frac{28}{40} = 0,7. \] Проверка подтверждает, что \(x = 2\) и \(x = 0,7\) — корни.
      Ответ: \(0,7\); \(2\).
Материалы школы Юайти