ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-II-11-1

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ 2015-II-11-1

1. Чему может быть равен наибольший член последовательности \(\{\cos n\}\) при \(n = 1,2,3,\dots\)? Ответ обосновать.
2. Моторная лодка проплыла по озеру, а потом спустилась вниз по реке, вытекающей из озера. Расстояние, пройденное лодкой по озеру, на \(20\%\) меньше расстояния, пройденного по реке. Время движения лодки по озеру на \(4\%\) больше, чем по реке. На сколько процентов скорость движения лодки вниз по реке больше скорости движения по озеру?
3. Дайте определение обратной функции. Имеет ли обратную функцию \(y = \sin x\)? Постройте графики следующих функций: \(y = \arcsin x\), \(y = \sin(\arcsin x)\) и \(y = \arcsin(\sin x)\).
4. В основании прямоугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны высоте пирамиды. Центры окружностей, вписанных во все боковые грани пирамиды, лежат в плоскости, параллельной плоскости основания пирамиды. Вычислить основание треугольника, лежащее в основании пирамиды, если высота пирамиды равна \(a\).
5. Могут ли числа \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\) являться членами одной арифметической прогрессии? Ответ обосновать.
6. При каких \(y\) существует хотя бы одно \(x\), совместно с \(y\) являющееся решением системы \[ \begin{cases} x + y > 5,\\ x y - 4 < 0? \end{cases} \] При каком минимальном значении \(y\) решение данной системы удовлетворяет условию \(\sqrt{y} + x = 0\)?
7. Решите уравнение: \[ x \;=\; \frac{1}{2 \;-\;\displaystyle\frac{3}{4 \;-\;\displaystyle\frac{5}{6 \;-\;\displaystyle\frac{7}{x}}}}. \]

Решения задач

1. Чему может быть равен наибольший член последовательности \(\{\cos n\}\) при \(n = 1,2,3,\dots\)? Ответ обосновать.
   Решение: Последовательность \(\{\cos n\}\) состоит из значений косинуса натуральных аргументов (радианы). Точки \(\theta_n = n \mod 2\pi\) плотно заполняют окружность \([0; 2\pi)\) из-за иррациональности \(\pi\). Косинус достигает максимума 1 в точках \(2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Однако такие точки не соответствуют целым \(n\). Поэтому значение 1 не достигается, хотя члены последовательности могут приближаться к нему сколь угодно близко.
   Ответ: Наибольшего члена в последовательности нет, верхняя грань равна \(1\).
   
   
2. На сколько процентов скорость движения лодки вниз по реке больше скорости движения по озеру?
   Решение: Пусть \(S\) — путь по реке, тогда путь по озеру \(0{,}8S\). Время по озеру \(t_{\text{оз}} = 1{,}04 t_{\text{рек}}\). Скорости: \[ v_{\text{оз}} = \frac{0{,}8S}{1{,}04 t_{\text{рек}}} = \frac{0{,}8}{1{,}04} \cdot \frac{S}{t_{\text{рек}}} = \frac{20}{26}v_{\text{рек}} = \frac{10}{13}v_{\text{рек}}, \] \[ \frac{v_{\text{рек}} - v_{\text{оз}}}{v_{\text{оз}}} \cdot 100% = \left(\frac{13}{10} - 1\right) \cdot 100% = 30\%. \] Ответ: На \(30\%\).
   
   
3. Определение обратной функции. Ответы на вопросы:
   Решение: Обратная функция к \(y = f(x)\) существует, если \(f\) биективна. Функция \(y = \sin x\) не имеет обратной на всей области определения из-за периодичности. Ограничивая \(x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), получаем обратную \(y = \arcsin x\). Графики:
   • \(y = \arcsin x\) — определён на \([-1; 1]\) с областью значений \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\);
   • \(y = \sin(\arcsin x) = x\) для \(x \in [-1; 1]\);
   • \(y = \arcsin(\sin x)\) — "пилообразный" график с периодом \(2\pi\).
   
   
   
4. Вычислить основание треугольника в пирамиде.
   Решение: Условие параллельности центра вписанных окружностей означает равенство расстояний от центра до основания. Для боковой грани — высота инцентра равна радиусу вписанной окружности \(r\). В прямоугольной пирамиде боковые грани равны. Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + a - x}{2}, \] где \(x\) — искомое основание треугольника. Так как все инцентры лежат на одной высоте, полученный радиус одинаков для всех граней. Решая систему уравнений длины сторон и площадей, находим: \[ x = 2a \sqrt{2}. \] Ответ: \(x = 2a \sqrt{2}\).
   
   
5. Можно ли числа \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) включить в арифметическую прогрессию?
   Решение: Если предположить их принадлежность арифметической прогрессии, разности \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\) и \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) должны быть кратны разности прогрессии \(d\). Соотношение этих разностей: \[ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \text{иррациональное}. \] Отношение не рационально, что противоречит определению прогрессии.
   Ответ: Не могут.
   
   
6. При каких \(y\) существует решение системы неравенств?
   Решение: Система: \[ \begin{cases} x + y > 5, \\ xy < 4. \end{cases} \] Из второго неравенства \(x 0\)). Из первого \(x >5 - y\). Объединяя: \[ 5 - y 5 \Rightarrow y_{\text{min}} = \frac{11+\sqrt{21}}{2}. \] Ответ: \(y \in (0;1) \cup (4; +\infty)\), минимальное \(y = \frac{11+\sqrt{21}}{2}\).
   
   
7. Решите уравнение: \[ x = \frac{1}{2 -\frac{3}{4 - \frac{5}{6 - \frac{7}{x}}}}. \] Решение: Последовательно исключаем вложенные дроби. Положим \(w =6 - \frac{7}{x}\), тогда уравнение преобразуется к виду: \[ x = \frac{4w -5}{5w -10}, \quad w =6 -\frac{7}{x}. \] Подстановка приводит к квадратному уравнению \(2w^2 + 3w -20=0\) с корнями \(w_1=2{,}5\), \(w_2=-4\). Отсюда решения для \(x\): \[ x_1=2, \quad x_2=0{,}7. \] Ответ: \(x = 2\) и \(x = 0{,}7\).