8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-11-2

Сложность:
Дата экзамена: 2015
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ 2015-11-2



  1. Решите уравнение: \[ 5^x - 1 = \sqrt{6 + 2\cdot 5^x}. \]

  2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|\log_{\lvert x+1\rvert}(y - 2)\bigr| > \bigl|\log_{\lvert x+1\rvert}(3 - x)\bigr|. \]

  3. В ромб вписана окружность, длина которой равна полупериметру ромба, а в неё вписан квадрат. Найдите отношение площади квадрата к площади ромба.

  4. Второй член арифметической прогрессии равен \(6\), а пятый — \(21\). Первый член геометрической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равен первому члену арифметической прогрессии; четвёртый член геометрической прогрессии меньше четвёртого члена арифметической прогрессии; а седьмой член геометрической прогрессии больше седьмого члена арифметической прогрессии. Найдите седьмой член геометрической прогрессии.

  5. В правильной треугольной пирамиде все плоские углы при вершине равны \(60^\circ\), а длины боковых рёбер равны \(2\). Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами этой пирамиды.

  6. Постройте график функции: \[ y = \arccos(\cos x). \]

  7. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \bigl(\sqrt{3}\,\sin x + \cos x - a\bigr)\,\tg x = 0 \] имеет ровно два корня на отрезке \(\displaystyle\bigl[-\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{6\pi}{5}\bigr]\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ 5^x - 1 = \sqrt{6 + 2 \cdot 5^x}. \] Решение: Введем замену \( t = 5^x \), тогда уравнение примет вид: \[ t - 1 = \sqrt{6 + 2t}. \] Возведем обе части в квадрат: \[ (t - 1)^2 = 6 + 2t \implies t^2 - 2t + 1 = 6 + 2t \implies t^2 - 4t - 5 = 0. \] Корни квадратного уравнения: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \implies t = 5 \quad \text{или} \quad t = -1. \] Так как \( t = 5^x > 0 \), подходит только \( t = 5 \): \[ 5^x = 5 \implies x = 1. \] Проверка подстановкой: \[ 5^1 - 1 = 4 = \sqrt{6 + 2 \cdot 5} = \sqrt{16} = 4. \] Ответ: \( \boxed{1} \).

  2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству: \[ \bigl|\log_{\lvert x+1\rvert}(y - 2)\bigr| > \bigl|\log_{\lvert x+1\rvert}(3 - x)\bigr|. \] Решение: ОДЗ:
    • \( |x + 1| > 0 \), \( |x + 1| \neq 1 \implies x \neq -1, 0 \).
    • Аргументы логарифмов положительны: \( y > 2 \), \( 3 - x > 0 \implies x < 3 \).
    Неравенство преобразуем, учитывая свойства логарифмов: \[ \log_{|x+1|} \frac{y - 2}{3 - x} \bigg| > 1 \quad \text{или} \quad \log_{|x+1|} \frac{y - 2}{3 - x} \bigg| < -1. \] Анализ случаев:
    1. Если \( |x + 1| > 1 \) (т.е. \( x > 0 \) или \( x |x + 1| \quad \text{или} \quad 0 < \frac{y - 2}{3 - x} < \frac{1}{|x + 1|}. \]
    2. Если \( 0 < |x + 1| < 1 \) (т.е. \( -2 < x < 0 \)): \[ 0 < \frac{y - 2}{3 - x} \frac{1}{|x + 1|}. \]
    Графически множество точек определяется пересечением областей, удовлетворяющих ОДЗ и вышеуказанным неравенствам. Ответ: Изображение множества точек на координатной плоскости согласно условиям.

  3. В ромб вписана окружность длины полупериметра ромба, а в неё вписан квадрат. Найдите отношение площади квадрата к площади ромба. Решение: Пусть сторона ромба \( a \), высота \( h \).
    • Радиус окружности: \( r = \frac{h}{2} \).
    • Длина окружности: \( 2\pi r = 2a \implies r = \frac{a}{\pi} \implies h = \frac{2a}{\pi} \).
    • Площадь ромба: \( S_{\text{ромба}} = a \cdot h = \frac{2a^2}{\pi} \).
    • Диагональ квадрата, вписанного в окружность: \( d = 2r = \frac{2a}{\pi} \implies = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}a}{\pi} \).
    • Площадь квадрата: \( S_{\text{квадрата}} = s^2 = \frac{2a^2}{\pi^2} \).
    • Отношение: \( \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{ромба}}} = \frac{2a^2 / \pi^2}{2a^2 / \pi} = \frac{1}{\pi} \).
    Ответ: \( \boxed{\dfrac{1}{\pi}} \).

  4. Второй член арифметической прогрессии равен 6, а пятый — 21. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если:
    • Первый член геометрической прогрессии \( b_1 = a_1 = 1 \).
    • Четвёртый член \( b_4 = q^3 < 16 \).
    • Седьмой член \( b_7 = q^6 > 31 \).
    Решение: Арифметическая прогрессия: \begin{align} a_2 & = a_1 + d = 6 \implies 1 + d = 6 \implies d = 5. \\ a_4 & = a_1 + 3d = 1 + 15 = 16. \\ b_4 & = q^3 < 16 \implies q 31 \implies q > \sqrt[6]{31} \approx 1.99. \] Естественное \( q = 2 \): \[ b_7 = 2^6 = 64. \] Ответ: \( \boxed{64} \).

  5. В правильной треугольной пирамиде боковые рёбра равны 2, все плоские углы при вершине — \(60^\circ\). Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами. Решение: Примем вершину пирамиды за начало координат. Ребра образуют между собой углы \(60^\circ\), что соответствует координатам вершин: \[ S(0,0,0), \quad A(2,0,0), \quad B(1,\sqrt{3},0), \quad C\left(1, \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right). \] Расстояние между скрещивающимися рёбрами (например, SA и BC) вычисляется через смешанное произведение векторов: \[ d = \frac{|\vec{SA} \cdot (\vec{BC} \times \vec{BA})|}{|\vec{BC} \times \vec{BA}|} = \sqrt{3}. \] Ответ: \( \boxed{\sqrt{3}} \).

  6. Постройте график функции \( y = \arccos(\cos x) \). Решение: Функция \( \arccos(\cos x) \) периодическая с периодом \(2\pi\), её график представляет собой "пилообразную" кривую:
    • На отрезке \([0, \pi]\): \( y = x \).
    • На отрезке \([\pi, 2\pi]\): \( y = 2\pi - x \).
    • Аналогично продолжается на соседние периоды.
    Ответ: График функции с пилообразными волнами амплитудой \(\pi\).

  7. Найдите все значения \( a \), при которых уравнение \[ \bigl(\sqrt{3}\,\sin x + \cos x - a\bigr)\,\tg x = 0 \] имеет ровно два корня на отрезке \(\bigl[-\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{6\pi}{5}\bigr]\). Решение: Разбиваем на случаи:
    1. Решения \( \tg x = 0 \) ( \( x = 0 \), \( x = \pi \) ).
    2. Решения \( \sqrt{3}\sin x + \cos x = a \) (преобразуем в \( 2\sin(x + \tfrac{\pi}{6}) = a \)).
    Анализ:
    • При \( |a| > 2 \) второе уравнение решений не имеет; оставляем \( x = 0 \), \( x = \pi \).
    • При \( |a| \leq 2 \):
      • Если \( a = 1 \) или \( a = -1 \), решения совпадают с корнями \( \tg x = 0 \), увеличивая количество решений.
      • Для остальных \( a \) количество корней \( 2\sin(x + \tfrac{\pi}{6}) = a \) на отрезке анализируется отдельно.
    Итоговые значения: \[ a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty). \] Проверка при \( |a| > 2 \) дает строго два корня. При \( a = \pm1 \) уравнение имеет три корня. Ответ: \( \boxed{a \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)} \).
Материалы школы Юайти