ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ 2015-11-1

1. Решите уравнение: \[ 8 \;-\; 36\cdot 6^x \;=\;\sqrt{6^{\,x+2}\;-\;2}. \]
   
   
2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \log_{\lvert x-2\rvert} y \;>\;\log_{\lvert x-2\rvert}(x-1). \]
   
   
3. В ромб вписана окружность радиуса, равного полупериметру ромба, а в эту окружность вписан правильный треугольник. Найдите отношение площади ромба к площади этого треугольника.
   
   
4. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна \(9\), а сумма первых шести членов равна \(-63\). Первый член целочисленной арифметической прогрессии равен второму члену геометрической прогрессии, шестой член арифметической прогрессии больше третьего члена геометрической прогрессии, а четырнадцатый член арифметической прогрессии меньше пятого члена геометрической прогрессии. Найдите шестой член этой арифметической прогрессии.
   
   
5. В правильной треугольной пирамиде все плоские углы при вершине прямые, а длины боковых рёбер равны \(\sqrt{2}\). Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами этой пирамиды.
   
   
6. Постройте график функции: \[ y = \arcsin(\sin x). \]
   
   
7. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \bigl(\sqrt{3}\,\sin x - \cos x - a\bigr)\,\ctg x = 0 \] имеет ровно два корня на отрезке \(\displaystyle\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{2\pi}{3}\bigr]\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 8 \;-\; 36\cdot 6^x \;=\;\sqrt{6^{\,x+2}\;-\;2}. \] Решение: Сделаем замену переменной \( t = 6^x \). Тогда уравнение примет вид: \[ 8 - 36t = \sqrt{36t - 2} \] Возведём обе части в квадрат: \[ (8 - 36t)^2 = 36t - 2 \quad \Rightarrow \quad 1296t^2 - 612t + 66 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \( t = \frac{1}{6} \) (второй корень \( t = \frac{11}{36} \) подстановкой проверяется как посторонний). Возвращаясь к \( x \): \[ 6^x = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Ответ: \( x = -1 \).
   
   
2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \log_{\lvert x-2\rvert} y \;>\;\log_{\lvert x-2\rvert}(x-1). \] Решение: Рассмотрим случаи для основания логарифма \( |x-2| \):
   • \( 0 < |x-2| < 1 \) (\( 1 <x<3 \), \( x \neq 2 \)): неравенство эквивалентно \( y < x -1 \).
   • \( |x-2| >1 \) (\( x>3 \)): неравенство эквивалентно \( y > x-1 \).
   Учитывая ОДЗ (\( y > 0 \), \( x > 1 \)) изобразим при \( 1 <x3 \) - выше этой прямой, исключая точки \(x=2\), \(x=1\), \(x=3\).
3. В ромб вписана окружность радиуса, равного полупериметру ромба, а в эту окружность вписан правильный треугольник. Найдите отношение площади ромба к площади этого треугольника.
   Решение: Пусть \(a\) — сторона ромба, \(r = 2a\) — радиус окружности (полупериметр ромба \(2a\)). Площадь ромба: \( S_{\text{ромба}} = a^2 \sin \alpha = a \cdot r = 2a^2 \). Сторона вписанного правильного треугольника: \( a_{\text{тр}} = 2r \sqrt{3} = 4a\sqrt{3} \). Площадь треугольника: \( S_{\text{тр}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (4a\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3}a^2 \). Отношение: \[ \frac{S_{\text{ромба}}}{S_{\text{тр}}} = \frac{2a^2}{12\sqrt{3}a^2} = \frac{1}{6\sqrt{3}} \] Ответ: \( \frac{1}{6\sqrt{3}} \).
   
   
4. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна \(9\), а сумма первых шести членов равна \(-63\). Первый член целочисленной арифметической прогрессии равен второму члену геометрической прогрессии, шестой член арифметической прогрессии больше третьего члена геометрической прогрессии, а четырнадцатый член арифметической прогрессии меньше пятого члена геометрической прогрессии. Найдите шестой член этой арифметической прогрессии.
   Решение: Для геометрической прогрессии \( b_1 + b_1 q + b_1 q^2 =9 \) и \( b_1 \frac{1 - q^6}{1 - q} = -63 \). Решаем систему: \( q = -2 \), \( b_1 =3 \). В арифметической прогрессии \( a_1 = b_2 = -6 \). Находим разность \( d \) из условий: $$\begin{aligned} a_6 = -6 +5d >12, \quad a_{14} = -6 +13d <48 \\ 3.6 < d <4.15 \quad \Rightarrow \quad d=4 \\ a_6 = -6 +5\cdot 4 =14 \end{aligned}$$ Ответ: \(14 \).
5. В правильной треугольной пирамиде все плоские углы при вершине прямые, а длины боковых рёбер равны \(\sqrt{2}\). Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами этой пирамиды.
   Решение: Поместим вершину \(S\) в начало координат. Тогда координаты вершин: \( S(0,0,0) \), \( A(\sqrt{2},0,0) \), \( B(0,\sqrt{2},0) \), \( C(0,0,\sqrt{2}) \). Рёбра \( AB \) и \( SC \) — скрещивающиеся. Находим расстояние между ними по формуле: \[ d = \frac{|\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SC})|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|} =1 \] Ответ: \(1 \).
6. Постройте график функции: \[ y = \arcsin(\sin x). \] Решение: Функция \( y = \arcsin(\sin x) \) периодична с периодом \( 2\pi \). На отрезке \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) \( y =x \), на \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) — \( y= \pi -x \). График представляет собой "пилообразную" волну с наклоном \( \pm1 \) в пределах \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \).
7. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \bigl(\sqrt{3}\,\sin x - \cos x - a\bigr)\,\ctg x = 0 \] имеет ровно два корня на отрезке \(\displaystyle\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{2\pi}{3}\bigr]\).
   Решение: Выделяем два случая:
   1. \( \ctg x =0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \).
   2. \( \sqrt{3}\sin x - \cos x -a =0 \).
   Преобразуем уравнение: \( 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) =a \). Число корней зависит от \(a\):
   • \(a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) — исходное уравнение имеет два корня \(x=-\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\).
   • При \(a = \pm \sqrt{3}\) получаются дополнительные корни, нарушающие условие.
   Ответ: \(a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\).