ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2014 год

ФМШ МИЭМ

2014 год

Вариант ФМШ 2014-II-11-2

1. Упростить выражение: \[ \sqrt{26 \;-\; 4\sqrt{27} \;-\; 10\sqrt{2}}. \]
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = \dfrac{\pi}{2},\\ \sqrt{2} + \sin 2y = \sin 2x. \end{cases} \]
3. Можно ли провести через точку пересечения медиан треугольника прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами? Обоснуйте ответ.
4. \(f(x)\) — убывающая линейная функция. При каких значениях \(b\) график функции \[ f\bigl(x^2\bigr) - 1 \] может касаться графика функции \[ f\bigl(b - x\bigr)\;? \]
5. В равнобочной трапеции \(ABCD\) (\(AB = CD\)) диагонали пересекаются в точке \(O\). Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) так, что \[ BM : MC = 5 : 4. \] Найдите отношение площадей треугольников \(MOC\) и \(AOD\), если \[ BC : AD = 3 : 5. \]
6. Постройте график функции: \[ y = \cos\bigl(\arcsin x\bigr). \]
7. Каковы две последние цифры числа \[ 89^{2015} + 11^{2015}\;? \] Докажите своё предположение. Подсказка. Подумайте, на что может делиться выражение \(x^{2n+1} + y^{2n+1}\).

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \sqrt{26 \;-\; 4\sqrt{27} \;-\; 10\sqrt{2}}. \]
   Решение: Представим выражение в виде \(\sqrt{a - b\sqrt{3} - c\sqrt{2}}\). Проверим возможность представления под корнем в виде квадрата разности: \[ \left(\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\right)^2 = 3 + 8 - 4\sqrt{6} \neq 26 - 12\sqrt{3} -10\sqrt{2} \] Заметим опечатку в условии, так как исходное подкоренное выражение отрицательно при приближенном вычислении \(\sqrt{26 - 12\sqrt{3} -10\sqrt{2}} \approx \sqrt{-8.924}\), что некорректно. Предположим исправление условия:
   Ответ: Некорректное условие (отрицательное подкоренное выражение).
   
   
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = \dfrac{\pi}{2},\\ \sqrt{2} + \sin 2y = \sin 2x. \end{cases} \]
   Решение:
   Из первого уравнения: \(x = y + \dfrac{\pi}{2}\). Подставим во второе уравнение: \[ \sqrt{2} + \sin2y = \sin\left(2y + \pi\right) = -\sin2y \] \[ \sqrt{2} = -2\sin2y \implies \sin2y = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \] Общее решение уравнения \(\sin2y = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\): \[ 2y = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \;\;\text{или}\;\; 2y = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}. \] Тогда решения системы: \[ \begin{cases} x = \dfrac{3\pi}{8} + \pi k,\\ y = -\dfrac{\pi}{8} + \pi k, \end{cases} \;\;\;\text{или}\;\;\;\begin{cases} x = \dfrac{9\pi}{8} + \pi k,\\ y = \dfrac{5\pi}{8} + \pi k. \end{cases} \] Ответ: \(\left(\dfrac{3\pi}{8} + \pi k, -\dfrac{\pi}{8} + \pi k\right)\) и \(\left(\dfrac{9\pi}{8} + \pi k, \dfrac{5\pi}{8} + \pi k\right),\quad k \in \mathbb{Z}\).
   
   
3. Можно ли провести через точку пересечения медиан треугольника прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами? Обоснуйте ответ.
   Решение: Любая прямая, проходящая через внутреннюю точку треугольника (центроид), пересекает как минимум две его стороны. Следовательно, прямая, не пересекающая сторон треугольника, через центроид невозможна.
   Ответ: Нельзя.
   
   
4. При каких значениях \(b\) график функции \(f\bigl(x^2\bigr) - 1\) касается графика функции \(f\bigl(b - x\bigr)\), если \(f(x)\) — убывающая линейная функция?
   Решение: Пусть \(f(x) = kx + c\), \(k < 0\). Уравнение касания: \[ kx^2 + c -1 = k(b - x) + c \implies kx^2 + kx - kb -1 = 0. \] Условие единственного решения (дискриминант равен нулю): \[ k^2 + 4k(kb +1) = 0 \implies k(1 +4b) = -4 \implies 1 +4b = -\dfrac{4}{k} \implies b = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{k}. \] Учитывая \(k -\dfrac{1}{4}\).
   Ответ: \(b > -\dfrac{1}{4}\).
   
   
5. В равнобочной трапеции \(ABCD\) отношение площадей треугольников \(MOC\) и \(AOD\):
   Решение: Диагонали трапеции делятся в отношении оснований \(AD:BC =5:3\). Точка \(M\) делит \(BC\) в отношении \(5:4\). Используя координаты и векторный метод, вычислим площади: \[ S_{\triangle MOC} = \dfrac{1}{2}kh, \quad S_{\triangle AOD} = \dfrac{25}{8}kh. \] Отношение площадей: \[ \dfrac{S_{\triangle MOC}}{S_{\triangle AOD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}kh}{\dfrac{25}{8}kh} = \dfrac{4}{25}. \] Ответ: \(\dfrac{4}{25}\).
   
   
6. Построить график функции \(y = \cos\bigl(\arcsin x\bigr)\):
   Решение: Для \(x \in [-1,1]\) \[\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 -x^2}.\] График — верхняя полуокружность \(x^2 + y^2 =1\) при \(y \ge 0\).
   Ответ: График — верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в \((0,0)\).
   
   
7. Две последние цифры числа \(89^{2015} + 11^{2015}\):
   Решение: Так как \(89 +11 =100\), и для любых нечётных степеней \(x^{2n+1} + y^{2n+1}\) делится на \(x + y\), то: \[ 89^{2015} +11^{2015} \equiv 0 \pmod{100} \implies \text{две последние цифры: } 00. \] Ответ: 00.