8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-II-11-2

Сложность:
Дата экзамена: 2013
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2013 год


Вариант ФМШ 2013-II-11-2



  1. Решите уравнение: \[ \sin 8x \;\cdot\;\sqrt{\cos 2x + 7\cos x + 4}\;=\;0. \]
  2. Решите уравнение: \[ x^4 + 5x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = 0. \]
  3. Решите неравенство: \[ \frac{\bigl\lvert 3x - 2\bigr\rvert - 7}{x + 1} \;\ge\;-1. \]
  4. Какая теорема называется противоположной данной? Сформулируйте противоположную теорему к утверждению: «Если целое число делится на два, то квадрат этого числа делится на четыре». Верно ли, что если теорема верна, то и её противоположная также верна?
  5. Многочлен \(P(x)\) при делении на \((x-4)\) даёт в остатке \(16\), а при делении на \((x+2)\) — в остатке \(10\). Чему равен остаток от деления этого многочлена на \((x-4)(x+2)\)?
  6. Дана равнобочная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны \(5\). Средняя линия делит трапецию на две части с отношением площадей \(2:3\). Найдите площадь трапеции.
  7. Решите относительно \(x\) уравнение: \[ \frac{3}{x + a - 1} = \frac{5a - 5}{(x + a - 1)(x + 2)}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \sin 8x \;\cdot\;\sqrt{\cos 2x + 7\cos x + 4}\;=\;0 \]
    Решение: 1. Приравниваем множители к нулю:
    ∙ $\sin 8x = 0 \quad \Rightarrow \quad 8x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi n}{8}$.
    ∙ $\sqrt{\cos 2x + 7\cos x + 4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x + 7\cos x + 4 = 0$. 2. Решаем уравнение $\cos 2x + 7\cos x + 4 = 0$: \[\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\] \[2\cos^2 x - 1 + 7\cos x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\cos^2 x + 7\cos x + 3 = 0\] \[D = 49 - 24 = 25 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{-7 \pm 5}{4}\]
    ∙ $\cos x = -0.5 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
    ∙ $\cos x = -3$ — нет решений. 3. Проверяем ОДЗ для $x = \frac{\pi n}{8}$: \[\cos 2 \cdot \frac{\pi n}{8} + 7\cos \frac{\pi n}{8} + 4 \ge 0\]
    Получаем окончательный ответ с учётом пересечений.
    Ответ: $x = \frac{\pi n}{8}$ при $n \not\equiv 4 \pmod{8}$ и $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
  2. Решите уравнение: \[ x^4 + 5x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = 0 \]
    Решение: 1. Делим уравнение на $x^2$: \[x^2 + 5x - 4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0\] 2. Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$: \[x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2\] \[(y^2 - 2) + 5y - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 5y - 6 = 0\] \[y = 1 \quad \text{или} \quad y = -6\] 3. Решаем уравнения для $y$:
    ∙ $y = 1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x + 1 = 0$ — нет действительных корней.
    ∙ $y = -6$: $x + \frac{1}{x} = -6 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 6x + 1 = 0$
    Корни: $x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
    Ответ: $x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
  3. Решите неравенство: \[ \frac{\bigl\lvert 3x - 2\bigr\rvert - 7}{x + 1} \;\ge\;-1 \]
    Решение: 1. Преобразуем неравенство: \[\frac{|3x - 2| - 7}{x + 1} + 1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{|3x - 2| - 6 + x}{x + 1} \ge 0\] 2. Разбиваем на два случая:
    ∙ $3x - 2 \ge 0$: \[\frac{4x - 8}{x + 1} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, -1) \cup [2, +\infty)\]
    ∙ $3x - 2 < 0$: \[\frac{-2x - 4}{x + 1} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x + 2}{x + 1} \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-2, -1)\] 3. Объединение с ОДЗ ($x \ne -1$):
    Ответ: $x \in (-2, -1) \cup [2, +\infty)$.
  4. Сформулируйте противоположную теорему к утверждению: «Если целое число делится на два, то квадрат этого числа делится на четыре».
    Верно ли, что если теорема верна, то и её противоположная верна?
    Решение: Противоположная теорема: «Если целое число НЕ делится на два, то квадрат этого числа НЕ делится на четыре».
    В данном случае исходная и противоположная теоремы верны. Однако в общем случае из истинности теоремы НЕ следует истинность противоположной.
    Ответ: Противоположная теорема верна, но не всегда это следует из истинности исходной.
  5. Многочлен \(P(x)\) при делении на \((x-4)\) даёт остаток 16, а на \((x+2)\) — остаток 10.
    Найдите остаток от деления на \((x-4)(x+2)\).
    Решение: Пусть остаток равен \(ax + b\): \[\begin{cases} P(4) = 16 = 4a + b \\ P(-2) = 10 = -2a + b \end{cases}\] Решаем систему: \[ \begin{cases} 4a + b = 16 \\ -2a + b = 10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad a = 1, \; b = 12 \]
    Ответ: Остаток \(x + 12\).
  6. Дана равнобочная трапеция со сторонами 5, в которую вписана окружность.
    Средняя линия делит её на части с отношением площадей \(2:3\). Найдите площадь трапеции.
    Решение: 1. Трапеция равнобочная ⇒ суммы оснований равны сумме боковых сторон: \[a + b = 10 \quad \text{(средняя линия} \; m = 5\text{)}\] 2. Подставляем отношение площадей: \[\frac{(a + 5) \cdot \frac{h}{2}}{(5 + b) \cdot \frac{h}{2}} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{a + 5}{15 - a} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a = 3, \; b = 7\] 3. Находим высоту \(h = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\). 4. Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = 5\sqrt{21}\]
    Ответ: \(5\sqrt{21}\).
  7. Решите уравнение относительно \(x\): \[ \frac{3}{x + a - 1} = \frac{5a - 5}{(x + a - 1)(x + 2)} \]
    Решение: 1. Умножаем обе части на \((x + a - 1)(x + 2)\): \[3(x + 2) = 5(a - 1)\] 2. Выражаем \(x\): \[x = \frac{5(a - 1)}{3} - 2\] 3. Проверяем ОДЗ (\(x \ne -a + 1\) и \(x \ne -2\)): ∙ Если \(a \ne 1\) и \(a \ne \frac{7}{4}\) ⇒ решение существует. ∙ Если \(a = 1\) или \(a = \frac{7}{4}\) ⇒ уравнение не имеет решения.
    Ответ: \(x = \frac{5(a - 1)}{3} - 2\) при \(a \ne 1\) и \(a \ne \frac{7}{4}\); решений нет при \(a = 1\) или \(a = \frac{7}{4}\).
Материалы школы Юайти