ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-II-11-1
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2013 год
Вариант ФМШ 2013-II-11-1
- Решите уравнение: \[ \cos 5x \;\cdot\;\sqrt{\cos 2x \;-\; 11\cos x \;+\; 6}\;=\;0. \]
- Решите уравнение: \[ x^4 \;+\; 2x^3 \;-\; 5x^2 \;-\; 2x \;+\; 1 \;=\; 0. \]
- Решите неравенство: \[ \frac{\bigl\lvert 4x + 3\bigr\rvert \;-\; 7}{x + 2}\;\ge\;-2. \]
- Какая теорема называется обратной к данной? Сформулируйте обратную теорему к теореме: «в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы». Верно ли, что если теорема верна, то и обратная к ней также верна?
- Многочлен \(P(x)\) при делении на \((x-3)\) даёт в остатке \(14\), а при делении на \((x+5)\) — в остатке \(6\). Чему равен остаток от деления этого многочлена на \((x-3)(x+5)\)?
- Дана равнобочная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны \(3\). Средняя линия делит трапецию на две части с отношением площадей \(1:2\). Найдите площадь трапеции.
- Решите относительно \(x\) уравнение: \[ 1 \;+\;\frac{3}{x - a + 3} \;=\; \frac{5a - 15}{(x - a + 3)\,(x - 2)}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\cos 5x \cdot \sqrt{\cos 2x \;-\; 11\cos x \;+\; 6}\;=\;0
\]
Решение:
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
- $\cos 5x = 0$:
\[
5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
Проверим условие $\cos 2x - 11\cos x + 6 \geq 0$. Подстановка $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (частный случай):
\[
\cos(\pi + 2\pi k) - 11\cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) + 6 = -1 - 0 + 6 = 5 \geq 0
\]
Значит, решения:
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- $\sqrt{\cos 2x - 11\cos x + 6} = 0$: \[ \cos 2x - 11\cos x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\cos^2 x - 11\cos x + 5 = 0 \] Корни: $\cos x = 5$ (не существует) и $\cos x = \frac{1}{2}$: \[ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\; x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m,\; k, m \in \mathbb{Z}$.
- $\cos 5x = 0$:
\[
5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
Проверим условие $\cos 2x - 11\cos x + 6 \geq 0$. Подстановка $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (частный случай):
\[
\cos(\pi + 2\pi k) - 11\cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) + 6 = -1 - 0 + 6 = 5 \geq 0
\]
Значит, решения:
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Решите уравнение:
\[
x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 2x + 1 = 0
\]
Решение:
Сделав замену $y = x - \frac{1}{x}$, преобразуем уравнение:
\[
(x^2 + x - 1)(x^2 + 3x - 1) = 0
\]
Корни:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}
\]
Ответ: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2},\; \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
- Решите неравенство:
\[
\frac{\bigl\lvert 4x + 3\bigr\rvert - 7}{x + 2} \ge -2
\]
Решение:
Преобразуем неравенство:
\[
\frac{|4x + 3| + 2x - 3}{x + 2} \ge 0
\]
Рассматриваем два случая:
- $4x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \ge -\frac{3}{4}$: \[ \frac{6x}{x + 2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \ge 0 \]
- $4x + 3 < 0 \Rightarrow x < -\frac{3}{4}$: \[ \frac{-2x - 6}{x + 2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad -3 \le x < -2 \]
Ответ: $x \in [-3; -2) \cup [0; +\infty)$.
- Какая теорема называется обратной к данной? Сформулируйте обратную теорему к теореме: «В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы». Верно ли, что если теорема верна, то и обратная к ней также верна?
Ответ: Обратной называется теорема, где условие и заключение меняются местами. Обратная теорема: «Если в треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то треугольники равны». Обратная теорема верна и является вторым признаком равенства треугольников. Утверждение о том, что обратная теорема всегда верна, неверно — это зависит от конкретной формулировки.
- Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x - 3)(x + 5)$. По теореме Безу и условия:
\[
\begin{cases}
3a + b = 14 \\
-5a + b = 6
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad a = 1,\; b = 11
\]
Ответ: $R(x) = x + 11$.
- Площадь трапеции. Сумма оснований $a + b = 6$ (описанная окружность), средняя линия $3$. Из условия отношений площадей $1:2$ получаем $a = 1$, $b = 5$. Высота $h = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$. Площадь:
\[
S = 3\sqrt{5}
\]
Ответ: $3\sqrt{5}$.
- Решите уравнение:
\[
1 + \frac{3}{x - a + 3} = \frac{5a - 15}{(x - a + 3)(x - 2)}
\]
Решение:
После преобразований получаем квадратное уравнение:
\[
x^2 + (4 - a)x + (3 - 3a) = 0
\]
Корни:
\[
x = a - 1, \quad x = -3
\]
Ограничения на $x \neq a - 3$ и $x \neq 2$. При $a = 3$ или $a = 0$ проверяем допустимость корней.
Ответ: \[ \begin{cases} x = a - 1, x = -3, & a \neq 0, a \neq 3 \\ x = -1, & a = 0 \\ x = -3, & a = 3 \end{cases} \]
Материалы школы Юайти