8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-11-2

Сложность:
Дата экзамена: 2013
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2013 год


Вариант ФМШ 2013-11-2



  1. Найдите области определения следующих функций:
    1. \(y = \displaystyle\frac{4 - x}{x^2 - 16};\)
    2. \(y = \sqrt{1 - \sin x};\)
    3. \(y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 - 5x + 6}}.\)


  2. Чему равно \(z\), если известно, что вектор \(\mathbf{c}\) имеет координаты \((2,\,-9,\,z)\), а его длина равна \(11\)?

  3. Решите уравнение: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \;=\; x - \frac{1}{x} + 8. \]

  4. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|2x - y\bigr| + \bigl|2x + y\bigr| < 8. \]

  5. Найдите \(a\) и \(b\), если известно, что \(x_0=1\) является единственным действительным корнем уравнения \[ x^4 + a x^2 + b x + 8 = 0. \]

  6. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна \(6\), а медиана, проведённая к боковой стороне, равна \(5\). Найдите площадь треугольника.

  7. Решите относительно \(x\) уравнение: \[ 2 + \frac{4a - 3}{(x - 2)(x - a)} \;=\; \frac{x + 2a}{x - a}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите области определения следующих функций:
    1. \(y = \displaystyle\frac{4 - x}{x^2 - 16}\)
      Решение: Знаменатель \(x^2 - 16 \neq 0\), т.к. деление на ноль невозможно. Решим уравнение:
      \(x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x = \pm4\)
      Ответ: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\).

    2. \(y = \sqrt{1 - \sin x}\)
      Решение: Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
      \(1 - \sin x \geq 0 \Rightarrow \sin x \leq 1\). Поскольку \(\sin x\) всегда \(\leq 1\), неравенство выполнено для всех \(x \in \mathbb{R}\).
      Ответ: \(x \in \mathbb{R}\).

    3. \(y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 - 5x + 6}}\)
      Решение: Необходимо, чтобы дробь \(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 5x + 6}\) была неотрицательной, а знаменатель не равен нулю.
      Решим \(x^2 - 5x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq 3\).
      Числитель: \(x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1\) или \(x \geq 1\).
      Знаменатель: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Определяем знаки:
      • При \(x 0\).
      • При \(2 < x < 3\): числитель \(\geq 0\) при \(x \geq 1\), знаменатель \(< 0\).
      • При \(x > 3\): оба выражения \(> 0\).

      Итоговые интервалы: \((-\infty; -1] \cup (2; 3) \cup [1; 2) \cup [3; \infty)\), но проверяя каждую область:
      Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup (2; 3) \cup [3; \infty)\). Учитывая исключения \(x \neq 2,3\), получаем:
      \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; 2) \cup (3; \infty)\).


  2. Чему равно \(z\), если длина вектора \(\mathbf{c} = (2, -9, z)\) равна 11?
    Решение: Длина вектора вычисляется как \(\sqrt{2^2 + (-9)^2 + z^2} = 11\).
    \(\sqrt{4 + 81 + z^2} = 11 \Rightarrow \sqrt{85 + z^2} = 11\)
    Возведем в квадрат: \(85 + z^2 = 121 \Rightarrow z^2 = 36 \Rightarrow z = \pm6\)
    Ответ: \(z = 6\) или \(z = -6\).

  3. Решите уравнение \(x^2 + \frac{1}{x^2} = x - \frac{1}{x} + 8\).
    Решение: Введем замену \(t = x - \frac{1}{x}\). Тогда \(t^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\), откуда \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2\).
    Подставим в уравнение:
    \(t^2 + 2 = t + 8 \Rightarrow t^2 - t - 6 = 0\)
    Решаем: \(t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = 3\) или \(t = -2\).
    1. Для \(t = 3\): \(x - \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x - 1 = 0\).
      \(D = 9 + 4 = 13 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\).
    2. Для \(t = -2\): \(x - \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0\).
      \(D = 4 + 4 = 8 \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\).

    Проверка корней показывает отсутствие посторонних решений.
    Ответ: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\), \(x = -1 \pm \sqrt{2}\).

  4. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству \(|2x - y| + |2x + y| < 8\).
    Решение: Рассмотрим случаи знаков выражений:
    • Если \(2x - y \geq 0\) и \(2x + y \geq 0\):
      \((2x - y) + (2x + y) < 8 \Rightarrow 4x < 8 \Rightarrow x < 2\).
      Область: между прямыми \(y = 2x\) и \(y = -2x\) при \(x < 2\).
    • Если \(2x - y \geq 0\) и \(2x + y < 0\):
      \((2x - y) - (2x + y) < 8 \Rightarrow -2y -4\).
    • Аналогичные проверки для других комбинаций знаков показывают, что решение формирует ромб с вершинами в точках \((2,0)\), \((0,4)\), \((-2,0)\), \((0,-4)\).
    Ответ: Фигура – ромб с вершинами в точках (±2,0), (0,±4).

  5. Найдите \(a\) и \(b\), если уравнение \(x^4 + a x^2 + b x + 8 = 0\) имеет единственный действительный корень \(x_0 = 1\).
    Решение: Поскольку \(x = 1\) – единственный корень, он должен быть кратным. Подставим \(x = 1\):
    \(1 + a + b + 8 = 0 \Rightarrow a + b = -9\).
    Продифференцируем уравнение: \(4x^3 + 2a x + b = 0\). Подставим \(x = 1\):
    \(4 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = -4\).
    Решим систему: \[ \begin{cases} a + b = -9\\ 2a + b = -4 \end{cases} \Rightarrow a = 5; b = -14 \] Ответ: \(a = 5\), \(b = -14\).

  6. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 6 и медианой к ней 5 найдите площадь.
    Решение: Пусть треугольник ABC (AB = BC = 6). Медиана BK к стороне AC равна 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Применим формулу медианы: \[ BK^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4} \]
    Подставим значения: \(5^2 = \frac{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6^2 - AC^2}{4}\).
    \(25 = \frac{144 - AC^2}{4} \Rightarrow AC^2 = 144 - 100 = 44 \Rightarrow AC = 2\sqrt{11}\).
    Площадь: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{11} \cdot 5 = 5\sqrt{11}\).
    Ответ: \(5\sqrt{11}\).

  7. Решите уравнение \(2 + \frac{4a - 3}{(x - 2)(x - a)} = \frac{x + 2a}{x - a}\).
    Решение: Умножим обе стороны на \((x - 2)(x - a)\):
    \(2(x - 2)(x - a) + 4a - 3 = (x + 2a)(x - 2)\).
    Раскроем скобки:
    \(2x^2 - 4x - 2ax + 2a x + 4a^2 - 3 = x^2 - 2x + 2a x - 4a\).
    Упростим и решим квадратное уравнение относительно \(x\):
    \(x^2 - 2x - 3 - 4a = 0\).
    \(D = 4 + 12 + 16a = 16a + 16\).
    При \(D > 0\):
    \(x = \frac{2 \pm \sqrt{16(a + 1)}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{a + 1}\).
    Проверим условия исключения \(x \neq 2\) и \(x \neq a\):
    • Решения \(x = 2\): если подставить \(2\) в уравнение, получится невозможная ситуация (знаменатель обращается в ноль).
    • Решение \(x = a\): проверяется подстановкой \(x = a\) в уравнение, исключая те \(a\), где это происходит.

    Ответ: При \(a \neq 2\sqrt{a + 1} +1\) и \(a \neq -2\sqrt{a + 1} -1\) решения \(x = 1 \pm 2\sqrt{a + 1}\).
Материалы школы Юайти