ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-11-1

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ 2013-11-1

1. Найдите области определения следующих функций:
   1. \(y = \dfrac{x + 4}{16 - x^2};\)
   2. \(y = \sqrt{1 - \cos x};\)
   3. \(y = \sqrt{\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 5x + 6}}.\)
   
   
   
2. Чему равно \(z\), если известно, что вектор \(\mathbf{c}\) имеет координаты \((1, -4, 2z)\), а его длина равна \(9\)?
   
   
3. Решите уравнение: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = x + \frac{1}{x} + 4. \]
   
   
4. Изобразите на плоскости множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ |x - y| + |x + y| > 6. \]
   
   
5. Найдите \(a\) и \(b\), если известно, что \(x_0 = 2\) является единственным действительным корнем уравнения \[ x^4 + ax^2 + bx + 24 = 0. \]
   
   
6. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(8\), а медиана, проведённая к боковой стороне, равна \(\sqrt{34}\). Найдите площадь этого треугольника.
   
   
7. Решите относительно \(x\) уравнение: \[ 2 - \frac{3a - 2}{(x - 1)(x + a)} \;=\; \frac{3x - a}{x + a}. \]

Решения задач

1. Найдите области определения следующих функций:
   1. \(y = \dfrac{x + 4}{16 - x^2}\)
      Решение: Знаменатель не должен быть равен нулю:
      \(16 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\) и \(x \neq -4\).
      Ответ: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\).
   2. \(y = \sqrt{1 - \cos x}\)
      Решение: Корень определен при \(1 - \cos x \geq 0\). Так как \(\cos x \leq 1\) для любого \(x\), неравенство верно при всех действительных \(x\).
      Ответ: \(x \in \mathbb{R}\).
   3. \(y = \sqrt{\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 5x + 6}}\)
      Решение: Условия: \[ \dfrac{(x - 3)^2}{(x - 2)(x - 3)} \geq 0, \quad x \neq 2, \quad x \neq 3. \] Упростим дробь: \[ \dfrac{x - 3}{x - 2} \geq 0 \quad (x \neq 3). \] Метод интервалов:
      \(+\) на \(( -\infty; 2)\), \(-\) на \((2; 3)\), \(+\) на \((3; +\infty)\). Учитывая \(x \neq 3\) и исходное выражение, получаем:
      Ответ: \(x \in (-\infty; 2) \cup [3; +\infty)\).
   
   
   
2. Чему равно \(z\), если известно, что вектор \(\mathbf{c}\) имеет координаты \((1, -4, 2z)\), а его длина равна \(9\)?
   Решение: Длина вектора \(\sqrt{1^2 + (-4)^2 + (2z)^2} = 9\).
   Получаем уравнение: \[ 1 + 16 + 4z^2 = 81 \Rightarrow 4z^2 = 64 \Rightarrow z = \pm 4. \] Ответ: \(z = \pm4\).
3. Решите уравнение: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = x + \frac{1}{x} + 4. \] Решение: Замена \(t = x + \frac{1}{x}\). Тогда \(t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\), откуда: \[ t^2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}. \] Уравнение принимает вид: \[ t^2 - 2 = t + 4 \Rightarrow t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3 \text{ или } t = -2. \] Возвращаемся к переменной \(x\):
   При \(t = 3\): \[ x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}. \] При \(t = -2\): \[ x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1. \] Ответ: \(x = -1\), \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\).
4. Изобразите на плоскости множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ |x - y| + |x + y| > 6. \] Решение: С помощью свойств модулей преобразуем неравенство: \[ \max(|x|, |y|) > 3. \] Это объединение областей вне квадрата со стороной 6, центрированного в начале координат.
   Ответ: Точки, лежащие вне квадрата с вершинами \((\pm 3, \pm 3)\).
5. Найдите \(a\) и \(b\), если известно, что \(x_0 = 2\) является единственным действительным корнем уравнения \[ x^4 + ax^2 + bx + 24 = 0. \] Решение: Так как \(x = 2\) — корень кратности 2, делим уравнение на \((x - 2)^2\): \[ (x - 2)^2(x^2 + px + q) = x^4 + ax^2 + bx + 24. \] Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим: \[ p = 4, \quad q = 6, \quad a = -6, \quad b = -8. \] Ответ: \(a = -6\), \(b = -8\).
6. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(8\), а медиана, проведённая к боковой стороне, равна \(\sqrt{34}\). Найдите площадь этого треугольника.
   Решение: Используем координаты точек: \[ A(0, 0), \quad B(8, 0), \quad M(4, 0) \text{ — середина } AB. \] Координаты точки \(C(x, y)\): \[ \begin{cases} |CM| = \sqrt{34} \Rightarrow (x - 4)^2 + y^2 = 34, \\ |AC| = 8 \Rightarrow x^2 + y^2 = 64. \end{cases} \] Вычитая уравнения, находим \(x = \frac{23}{4}\), подставляем в \(x^2 + y^2 = 64\), получаем: \[ y = \frac{\sqrt{495}}{4}. \] Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{495}}{4} = \sqrt{495} = 3\sqrt{55}. \] Ответ: \(3\sqrt{55}\).
7. Решите относительно \(x\) уравнение: \[ 2 - \frac{3a - 2}{(x - 1)(x + a)} = \frac{3x - a}{x + a}. \] Решение: После преобразований уравнение сводится к: \[ x^2 - (3a + 1)x + 6a - 2 = 0. \] Корни: \[ x = \frac{3a + 1 \pm 3|a - 1|}{2}. \] Проверяем ограничения \(x \neq 1\) и \(x \neq -a\):
   Ответ: \[ x = \begin{cases} 2, \quad &\text{если } a \neq -2, \\ -7, \quad &\text{если } a = -2. \end{cases} \] Также корень \(x = 3a - 1\) допустим при \(3a - 1 \neq 1\) и \(3a - 1 \neq -a\).
   Полный ответ учитывает условия для \(a\): \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3a - 1 \quad (\text{при } a \neq \frac{2}{3}, -\frac{1}{4}, -2). \]