ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2012 год вариант ФМШ 2012-11-2

ФМШ МИЭМ

2012 год

Вариант ФМШ 2012-11-2

1. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 3x + 2 \le 0,\\ (2x + 1)(x + 2) > 0. \end{cases} \]
2. 1. Изобразить на плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ y^2 - x^2 + 2x = 1. \]
   2. Из полученного множества выделить подмножество, являющееся графиком некоторой функции, область определения которой — все действительные числа, и которая на своей области определения не является монотонной.
   3. Записать аналитическую формулу для функции, графиком которой является выделенное подмножество из пункта (b).
3. Вася добирается из дома до института за 45 минут: 15 минут идёт пешком, а остальное время едет на метро. Проснувшись утром, Вася обнаружил, что проспал. Подумав, он решил, что если он будет бежать, то может выйти на 10 минут позже обычного. Успеет ли Вася добраться до института вовремя, если бежит в 2 раза быстрее, чем идёт пешком? На сколько минут позже можно выходить из дома, чтобы точно не опоздать?
4. Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешним образом. К окружностям проведена общая касательная. Найти расстояние между точками касания этой касательной с окружностями.
5. Построить график функции \[ f(x) = -\frac{1}{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2}. \] Сколько решений при различных значениях параметра \(a\) может иметь уравнение \[ a - 2x \;=\; -\frac{1}{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2}? \] Выписать все подмножества действительных чисел, элементами которых являются такие значения \(a\), при которых данное уравнение имеет одинаковое количество решений.

Решения задач

1. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 3x + 2 \le 0,\\ (2x + 1)(x + 2) > 0. \end{cases} \] Решение:
   Решим первое неравенство:
   Найдём корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x + 2 = 0\):
   \(D = 9 - 8 = 1\),
   \(x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1\).
   Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: \(x \in [-2; -1]\). Решим второе неравенство:
   Находим критические точки: \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0,5\); \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\).
   Метод интервалов даёт решение: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-0,5; +\infty)\). Пересечение решений:
   \([-2; -1] \cap \left[( -\infty; -2 ) \cup ( -0,5; +\infty )\right] = \emptyset\).
   Ответ: Нет решений.
   
   
2. 1. Изобразить на плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \(y^2 - x^2 + 2x = 1\).
      Решение:
      Преобразуем уравнение: \(y^2 = (x - 1)^2\),
      \(y = x - 1\) или \(y = -x + 1\).
      График представляет собой две пересекающиеся прямые с вершиной в точке \((1, 0)\).
   2. Выделить график функции с областью определения \(\mathbb{R}\), не монотонной.
      Решение:
      Возьмём кусочно-линейную функцию:
      \[ y = \begin{cases} 1 - x, & x \leq 1,\\ x - 1, & x > 1. \end{cases} \] Эта функция меняет монотонность в точке \(x = 1\).
   3. Записать аналитическую формулу:
      Ответ: \(y = |x - 1| \cdot \text{sign}(x - 1)\).
   
   
   
3. Вася тратит:
   Решение:
   Обычное время: 15 минут пешком + 30 минут на метро = 45 минут.
   При беге скорость в 2 раза выше: время пешком сокращается до \(\frac{15}{2} = 7,5\) мин.
   Если выйдет на 10 минут позже, общее время составит \(7,5 + 30 = 37,5\) мин, но до начала остаётся \(45 - 10 = 35\) мин.
   Опоздание: \(37,5 - 35 = 2,5\) мин. Максимальная задержка без опоздания:
   \(45 - (7,5 + 30) = 7,5\) мин.
   Ответ: Не успеет; максимальная задержка — 7,5 мин.
   
   
4. Окружности радиусов 1 и 4 внешне касаются.
   Решение:
   Расстояние между центрами: \(1 + 4 = 5\).
   Длина общей внешней касательной: \[ L = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{5^2 - (4 - 1)^2} = \sqrt{25 - 9} = 4. \] Ответ: 4.
   
   
5. График функции \(f(x) = -\frac{1}{x}\) при \(x > 0\).
   Решение:
   Уравнение \(a - 2x = -\frac{1}{x}\) преобразуется в \(a = 2x - \frac{1}{x}\).
   Функция \(y = 2x - \frac{1}{x}\) монотонно возрастает на \(x > 0\) и принимает все действительные значения ровно один раз.
   Все значения параметра \(a \in \mathbb{R}\) дают одно решение.
   Ответ: При любом \(a \in \mathbb{R}\) уравнение имеет одно решение. Все значения \(a\) образуют одно подмножество \(\mathbb{R}\).