8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2012 год

Сложность:
Дата экзамена: 2012
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2012 год


Вариант ФМШ 2012-11-1



  1. Какое из следующих чисел больше: \(\sin\bigl(\cos 75^\circ\bigr)\) или \(\cos\bigl(\sin 75^\circ\bigr)\)? Ответ обосновать.

  2. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0,\\ (2x - 1)(x - 2) \le 0. \end{cases} \]

    1. Изобразить на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворящее уравнению \[ x^2 - y^2 + 2y = 1. \]
    2. Из полученного множества выделить подмножество, являющееся графиком некоторой функции, область определения которой — все действительные числа, и которая на своей области определения не является монотонной.
    3. Записать аналитическую формулу для функции, графиком которой является выделенное подмножество из пункта (b).


  4. Павел добирается из дома до института за 50 минут: 20 минут идёт пешком, а остальное время едет на метро. Вечером Павел подвернул ногу и выяснил, что скорость ходьбы уменьшилась в 2 раза. Успеет ли он прийти в институт вовремя, если следующим утром выйдет из дома на 15 минут раньше обычного? За какое время ему нужно выходить из дома, чтобы точно не опоздать?

  5. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. К ним проведена общая касательная. Найти расстояние между точками касания этой касательной с окружностями.

  6. Построить график функции \[ f(x) = \frac{1}{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2}. \] Сколько решений при различных значениях параметра \(a\) может иметь уравнение \[ 2a - x = \frac{1}{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2}\;? \] Выписать все подмножества \(\{a\}\subset\mathbb{R}\), при каждом из которых данное уравнение имеет одинаковое число решений.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сравнить $\sin(\cos 75^\circ)$ и $\cos(\sin 75^\circ)$.
    Решение:
    Переведём углы в радианы для расчётов:
    $\cos 75^\circ \approx 0.2588$ радиан (14.83°). $\sin(\cos 75^\circ) \approx \sin(0.2588) \approx 0.2556$.
    $\sin 75^\circ \approx 0.9659$ радиан (55.3°). $\cos(\sin 75^\circ) \approx \cos(0.9659) \approx 0.5735$.
    Сравним аргументы: преобразуем $\cos(\sinθ) = \sin(90^\circ - \sinθ)$. Так как $\cos75^\circ < 90^\circ - \sin75^\circ$ (14.83° < 34.7°), то $\sin(\cos75^\circ) < \cos(\sin75^\circ)$.
    Ответ: $\cos(\sin75^\circ) > \sin(\cos75^\circ)$.

  2. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0,\\ (2x - 1)(x - 2) \le 0. \end{cases} \]
    Решение:
    1. Разложим квадратное неравенство: $(x-1)(x-2) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
    2. Решим $(2x - 1)(x - 2) \leq 0 \Rightarrow x \in [0.5; 2]$.
    Пересечение решений:
    $[0.5; 1) \cup \varnothing = [0.5; 1)$.
    Ответ: $x \in [0.5; 1)$.

    1. Уравнение $x^2 - y^2 + 2y = 1$ преобразуем:
      $x^2 - (y^2 - 2y) = 1 \Leftrightarrow x^2 - (y - 1)^2 + 1 = 1 \Leftrightarrow x^2 = (y - 1)^2$.
      Получаем две пересекающиеся прямые: $y = x + 1$ и $y = 1 - x$.
      Ответ: Множество точек, образующих две пересекающиеся прямые.

    2. Выделим функцию с областью определения $\mathbb{R}$, которая не монотонна. Подходит ломаная из двух прямых:
      $y = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ 1 - x, & x > 0 \end{cases}$.
      Ответ: График ломаной с изломом в точке $(0,1)$.

    3. Аналитическая формула:
      $y = 1 - |x| \text{ при } x \neq 0$, но точнее: кусочно-заданная функция как выше.

      Ответ: $y = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ 1 - x, & x > 0 \end{cases}$.


  4. Павел тратит 40 минут пешком и 30 минут на метро после травмы. Новое время: 70 мин. Выйдя на 15 мин раньше, он потратит 70 -15=55 мин >50. Не успеет. Чтобы точно успеть, должен выйти на $70 -50=20$ мин раньше.
    Ответ: Не успеет. Выходить на 20 минут раньше.

  5. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешне. Длина общей внешней касательной между точками касания:
    $l = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{13^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
    Ответ: 12.

  6. График $f(x) = \frac{1}{x}$ при $x > 0$. Уравнение $2a - x = \frac{1}{x}$ преобразуется в $x^2 - 2ax +1 =0$.
    Анализ решений:
    • $a > 1$: 2 решения.
    • $a = 1$: 1 решение.
    • $a < 1$: нет решений.
    Ответ: При $a >1$ два решения, при $a=1$ одно, при $a<1$ нет. Подмножества: $(-\infty;1)$, $\{1\}$, $(1;+\infty)$.
Материалы школы Юайти