ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2010 год вариант 2010-11-2

ФМШ МИЭМ

2010 год

Вариант 2010-11-2

1. Вычислить значение $\sin15^\circ + \mathrm{ctg}15^\circ$, представив его в виде выражения, не содержащего тригонометрических функций.
2. Расстояние между своим домиком и домиком Пятачка Винни-Пух проходит на 4 минуты медленнее, чем Пятачок. Сколько времени тратит на дорогу Винни, если его скорость в 3 раза меньше, чем скорость друга?
3. Построить график функции: \[ y = \frac{4x - x^2}{2 - \lvert x - 2 \rvert}. \]
4. В треугольнике $ABC$ точка $P$ -- середина стороны $AB$. Отрезок $PC$ пересекается с медианой $BN$ в точке $S$. Найти площадь треугольника $BPS$, если площадь треугольника $ABC$ равна 12.
5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x}{9 - x^2} \le 0, \quad \lvert x - 3 \rvert \le 0. \]
6. Решить неравенство: \[ (x - 3)^4 \cdot \sqrt{x - 2} \le 0. \]
7. Пусть числа $x$ и $y$ удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} y - x \le 5, \\ y + 4x \le -5, \\ 3y + 2x \ge -5. \end{cases} \] Найти все значения, которые могут принимать:
   1. переменная $x$;
   2. сумма $x^2 + y^2$;
   3. отношение $\frac{x}{y}$.

Решения задач

1. Вычислить значение $\sin15^\circ + \mathrm{ctg}15^\circ$, представив его в виде выражения, не содержащего тригонометрических функций.
   Решение: $\sin15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ - \cos45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$. $\mathrm{ctg}15^\circ = \frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{3}$. Следовательно: $\sin15^\circ + \mathrm{ctg}15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + 2 + \sqrt{3}$.
   Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + 2 + \sqrt{3}$.
2. Расстояние между своим домиком и домиком Пятачка Винни-Пух проходит на 4 минуты медленнее, чем Пятачок. Сколько времени тратит на дорогу Винни, если его скорость в 3 раза меньше, чем скорость друга?
   Решение: Скорость Винни — $v$, скорость Пятачка — $3v$. Пусть расстояние между домиками равно $S$. Время Винни: $t = \frac{S}{v}$, а время Пятачка: $\frac{S}{3v}$. По условию: $\frac{S}{v} - \frac{S}{3v} = 4 \implies \frac{2S}{3v} = 4 \implies \frac{S}{v} = 6$ минут.
   Ответ: 6 минут.
3. Построить график функции: \[ y = \frac{4x - x^2}{2 - \lvert x - 2 \rvert}. \]
   Решение: Рассмотрим два случая раскрытия модуля: 1) $x \geq 2$, тогда $\lvert x - 2 \rvert = x - 2$, и формула примет вид: \[ y = \frac{4x - x^2}{2 - (x - 2)} = \frac{-x(x - 4)}{4 - x} = x \text{ (при } x \neq 4). \] 2) $x < 2$, тогда $\lvert x - 2 \rvert = 2 - x$, и формула примет вид: \[ y = \frac{4x - x^2}{2 - (2 - x)} = \frac{4x - x^2}{x} = 4 - x \text{ (при } x \neq 0). \] График состоит из двух частей: прямых $y = x$ при $x \geq 2$ и $y = 4 - x$ при $x < 2$, с исключением точек $x = 0$ и $x = 4$.
   Ответ: Две прямые $y = x$ (для $x \geq 2$) и $y = 4 - x$ (для $x < 2$) с дырками в точках $(0, 4)$ и $(4, 4)$.
4. В треугольнике $ABC$ точка $P$ — середина стороны $AB$. Отрезок $PC$ пересекается с медианой $BN$ в точке $S$. Найти площадь треугольника $BPS$, если площадь треугольника $ABC$ равна 12.
   Решение: Пусть координаты вершин: $A(0,0)$, $B(2a,0)$, $C(0,2b)$. Точка $P$ — середина $AB$, её координаты $(a,0)$. Медиана $BN$ соединяет $B(2a,0)$ с серединой $AC$ — точкой $N(0,b)$. Уравнение прямой $PC$: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{2b} = 1. \] Уравнение медианы $BN$: \[ y = -\frac{b}{2a}x + b. \] Решая систему уравнений, находим точку $S$, принадлежащую и $PC$, и $BN$. Площадь треугольника $BPS$ составляет $\frac{1}{6}$ площади $ABC$, то есть $2$.
   Ответ: 2.
5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x}{9 - x^2} \le 0, \quad \lvert x - 3 \rvert \le 0. \]
   Решение: 1) Решение $\frac{x}{9 - x^2} \le 0$ приводит к условию $x \in (-3, 0] \cup (3, +\infty)$. 2) Решение $\lvert x - 3 \rvert \le 0$ даёт единственный корень $x = 3$. Объединение решений: $x \in (-3, 0] \cup [3, +\infty)$.
   Ответ: $x \in (-3;0] \cup [3;+\infty)$.
6. Решить неравенство: \[ (x - 3)^4 \cdot \sqrt{x - 2} \le 0. \]
   Решение: $(x - 3)^4 \geq 0$ и $\sqrt{x - 2} \geq 0$ при $x \geq 2$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть при $x = 2$ или $x = 3$. Оба удовлетворяют $x \geq 2$.
   Ответ: $x = 2$, $x = 3$.
7. Пусть числа $x$ и $y$ удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} y - x \le 5, \\ y + 4x \le -5, \\ 3y + 2x \ge -5. \end{cases} \] Найти все значения, которые могут принимать:
   1. Переменная $x$.
      Ответ: $x$ принадлежит отрезку $[-4; -1]$.
   2. Сумма $x^2 + y^2$.
      Ответ: Минимальное значение $\frac{425}{289}$, максимальное $17$. Следовательно, $x^2 + y^2$ лежит в промежутке $\left[ \frac{425}{289}; 17 \right]$.
   3. Отношение $\frac{x}{y}$.
      Ответ: Диапазон значений: $[-4;4]$ (с исключением случаев деления на ноль).
   
   Ответ: a) $x \in [-4; -1]$; b) $x^2 + y^2 \in \left[ \frac{425}{289}; 17 \right]$; c) $\frac{x}{y} \in [-4;4]$.