ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2010 год

ФМШ МИЭМ

2010 год

Вариант 2010-11-1

1. Вычислить значение $\cos15^\circ + \mathrm{tg}15^\circ$, представив его в виде выражения, не содержащего тригонометрических функций.
2. Расстояние между своим домиком и домиком Винни-Пуха Пятачок проходит на 3 минуты быстрее, чем Винни. Сколько времени тратит на дорогу Пятачок, если его скорость в 2,5 раза больше скорости друга.
3. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 - 2x}{\lvert x - 1 \rvert - 1}. \]
4. В треугольнике $ABC$ точка $K$ -- середина стороны $AC$. Отрезок $BK$ пересекается с медианой $AM$ в точке $P$. Найти площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна 9.
5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x}{x^2 - 4} \le 0, \quad \lvert 2 - x \rvert \le 0. \]
6. Решить неравенство: \[ (x - 5)^4 \cdot \sqrt{4 - x} \ge 0. \]
7. Пусть числа $x$ и $y$ удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} 3y + x \le 10, \\ 3x - y \le 10, \\ y + 2x \ge 5. \end{cases} \] Найти все значения, которые могут принимать:
   1. переменная $x$;
   2. сумма $x^2 + y^2$;
   3. отношение $\frac{x}{y}$.

Решения задач

1. Вычислить значение $\cos15^\circ + \tan15^\circ$, представив его в виде выражения, не содержащего тригонометрических функций.
   Решение:
   Используем тригонометрические тождества: \[ \cos15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ + \sin45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \] \[ \tan15^\circ = \frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{3} \] Суммируем: \[ \cos15^\circ + \tan15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + (2 - \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \] Ответ: $2 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
   
   
2. Расстояние между своим домиком и домиком Винни-Пуха Пятачок проходит на 3 минуты быстрее, чем Винни. Сколько времени тратит на дорогу Пятачок, если его скорость в 2,5 раза больше скорости друга.
   Решение:
   Пусть скорость Винни $v$, тогда скорость Пятачка $2,5v$. Путь $S$. \[ \frac{S}{v} - \frac{S}{2,5v} = 0,05 \quad (\text{3 мин = 0,05 часа}) \] \[ \frac{S}{v} \left(1 - \frac{1}{2,5}\right) = 0,05 \implies \frac{S}{v} \cdot \frac{3}{5} = 0,05 \implies \frac{S}{v} = \frac{0,05 \cdot 5}{3} = \frac{1}{12} \text{ часа} = 5 \text{ минут} \] Время Пятачка: $\frac{S}{2,5v} = \frac{5}{2,5} = 2$ минуты.
   Ответ: 2 минуты.
   
   
3. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 - 2x}{\lvert x - 1 \rvert - 1}. \]
   Решение:
   Рассмотрим случаи для модуля: \[ |x-1| = \begin{cases} x-1, & x \geq 1 \\ 1 - x, & x < 1 \end{cases} \]
   Случай 1: $x \geq 1$, $x \neq 2$: \[ y = \frac{x(x-2)}{x - 2} = x \] Случай 2: $x < 1$, $x \neq 0$: \[ y = \frac{x(x-2)}{-x} = -(x - 2) = 2 - x \]
   График состоит из двух прямых $y = x$ (при $x \geq 1, x \neq 2$) и $y = 2 - x$ (при $x < 1, x \neq 0$), с выколотыми точками $(2,2)$ и $(0,-2)$.
   Ответ: график с описанными ветвями.
   
   
4. В треугольнике $ABC$ точка $K$ -- середина стороны $AC$. Отрезок $BK$ пересекается с медианой $AM$ в точке $P$. Найти площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна 9.
   Решение:
   Площадь треугольника $ABC$ равна 9. Точка пересечения делит медиану $AM$ в отношении $2:1$. Используя свойство пересечения медиан: \[ S_{ABP} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \] Ответ: 3.
   
   
5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x}{x^2 - 4} \le 0, \quad |2 - x| \le 0. \]
   Решение:
   Первое неравенство: \[ \frac{x}{(x-2)(x+2)} \leq 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup [0,2) \] Второе неравенство: \[ |2 - x| \leq 0 \implies x = 2 \] Объединение решений: \[ x \in (-\infty, -2) \cup [0, 2] \] Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [0, 2]$.
   
   
6. Решить неравенство: \[ (x - 5)^4 \cdot \sqrt{4 - x} \ge 0. \]
   Решение: \[ \sqrt{4 - x} \geq 0 \text{ и существует при } x \leq 4. \] \[ (x -5)^4 \geq 0 \text{ всегда}. \] Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.
   
   
7. Для системы: \[ \begin{cases} 3y + x \le 10, \\ 3x - y \le 10, \\ y + 2x \ge 5, \end{cases} \] найти:
   1. Переменная $x$ изменяется от $1$ до $4$.
      Ответ: $x \in [1, 4]$.
   2. Сумма $x^2 + y^2$ минимальна при $(1,3)$ и $(3,-1)$: $1^2 +3^2 = 10$; максимальна при $(4,2)$: $4^2 +2^2 = 20$.
      Ответ: $10 \leq x^2 + y^2 \leq 20$.
   3. Отношение $\frac{x}{y}$: минимальное значение $-3$ (в точке $(3,-1)$), максимальное значение $2$ (в точке $(4,2)$).
      Ответ: $\frac{x}{y} \in [-3, 2]$, кроме окрестности нуля при малых $y$.