ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2009 год

ФМШ МИЭМ

2009 год

Вариант 200911-II-3

1. Упростить выражение: \[ \frac{(a+3)(a^2 - 3a + 9) + 9a^2 + 27a}{(3 + a)^3}. \]
2. Решить систему: \[ \begin{cases} \frac{5}{x - 0{,}5} \le 1, \\ 3x^2 - \lvert x \rvert - 4 = 0. \end{cases} \]
3. Решить уравнение: \[ \frac{2\cos2x - 4\cos x - 1}{\sqrt{\cos x}} = 0. \]
4. В прямоугольник вписан ромб со стороной 5 см так, что все вершины ромба лежат на различных сторонах прямоугольника. Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 6 см.
5. При каких значениях $m$ графики функций \[ y = x^2 + (2m + 1)\cdot x - 4m \quad\text{и}\quad y = x^2 - 3mx + m + 1 \] не имеют общих точек?
6. Двум садовникам было поручено высадить кусты роз. Однако у первого садовника заболела нога, и он приступил к работе на 3 дня позже, чем второй. На сколько дней позже закончили работать садовники, если производительность первого садовника была в 2 раза больше производительности второго, а закончили они высаживать кусты роз одновременно.
7. Построить множество точек координатной плоскости, удовлетворя совокупности: \[ \begin{cases} y \ge \frac{2}{x - 4} + 3, \\ x^2 - 4x + 1 + y^2 - 2y \le 0. \end{cases} \]

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{(a+3)(a^2 - 3a + 9) + 9a^2 + 27a}{(3 + a)^3}. \]
   Решение: Числитель преобразуем: \[ (a+3)(a^2-3a+9) = a^3 + 27, \] \[ 9a^2 + 27a = 9a(a + 3). \] Таким образом: \[ a^3 + 27 + 9a^2 + 27a = (a+3)^3. \] Знаменатель: $(3+a)^3$. Тогда выражение упрощается до 1.
   Ответ: 1.
   
   
2. Решить систему: \[ \begin{cases} \frac{5}{x - 0{,}5} \le 1, \\ 3x^2 - \lvert x \rvert - 4 = 0. \end{cases} \]
   Решение: Решим второе уравнение. При $x \geq 0$: \[ 3x^2 - x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3}. \] При $x < 0$: \[ 3x^2 + x - 4 = 0 \implies x = -\frac{4}{3}. \] Проверим решение первого неравенства: \[ \frac{5}{x - 0{,}5} \le 1 \implies x \in (-\infty; 0{,}5) \cup [5{,}5; +\infty). \] Корни $x = \frac{4}{3}$ и $x = -\frac{4}{3}$ принадлежат решению неравенства.
   Ответ: $\left\{ -\frac{4}{3}; \frac{4}{3} \right\}$.
   
   
3. Решить уравнение: \[ \frac{2\cos2x - 4\cos x - 1}{\sqrt{\cos x}} = 0. \]
   Решение: Условие $\cos x > 0$. Преобразуем уравнение: \[ 2(2\cos^2 x - 1) - 4\cos x - 1 = 0 \implies 4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0. \] Корни квадратного уравнения: \[ \cos x = -\frac{1}{2} \quad (\text{не подходит, так как } \cos x > 0). \] Решений нет.
   Ответ: Решений нет.
   
   
4. В прямоугольник вписан ромб со стороной 5 см. Одна сторона прямоугольника 6 см. Найти площадь прямоугольника.
   Решение: Ромб образован серединами сторон прямоугольника. По теореме Пифагора: \[ \left( \frac{6}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{2} \right)^2 = 5^2 \implies y = 8 \text{ см}. \] Площадь прямоугольника: $6 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$.
   Ответ: 48 см².
   
   
5. При каких $m$ графики функций \[ y = x^2 + (2m + 1)x - 4m \quad\text{и}\quad y = x^2 - 3mx + m + 1 \] не имеют общих точек?
   Решение: Приравняем функции: \[ (5m + 1)x = 5m + 1. \] Если $5m + 1 \neq 0$ решение $x = 1$. Общих точек нет только если корней нет, что невозможно. При $m = -\frac{1}{5}$ графики совпадают. Общих точек нет только для $m = -\frac{1}{5}$, но графики совпадают. Ответ подтверждается.
   Ответ: таких $m$ не существует.
   
   
6. Два садовника закончили работу одновременно. Первый был на 3 дня позже и работал в 2 раза продуктивнее. На сколько дней позже закончили работу?
   Решение: Пусть общий объем работы $S$. Второй работал $t$ дней, первый $t - 3$ дней с удвоенной скоростью. Объем работы выполненной первым: $2v(t - 3)$, вторым: $vt$. Совместная работа позволила закончить на 2 дня позже.
   Ответ: на 2 дня позже.
   
   
7. Построить множество точек: \[ \begin{cases} y \ge \frac{2}{x - 4} + 3, \\ x^2 - 4x + 1 + y^2 - 2y \le 0. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство — область выше гиперболы. Второе — окружность $(x-2)^2 + (y-1)^2 \leq 4$. Пересечение — участок окружности выше гиперболы.
   Ответ: Пересечение указанных областей (графически).