8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2005 год вариант ФМШ 200511-II-3

Сложность:
Дата экзамена: 2005
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2005 год


Вариант ФМШ 200511-II-3



  1. Решить уравнение: \[ \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} + \frac{x^3 + 64}{x^2 + 5x + 4} = 8. \]
  2. Найти все решения неравенства $\cos(x - \pi) \le \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $x \in [\pi; 3\pi]$.
  3. Построить график функции: \[ y^2 + 5y - x + 6 = 0. \]
  4. Найти площадь треугольника $ABC$, если его вершины имеют координаты: $A(-1; -3)$, $B(2; -1)$ и $C(-2; 5)$.
  5. Решить уравнение: \[ \sin2x - \sin3x + \sin4x = \cos2x - \cos3x + \cos4x. \]
  6. Два автобуса выехали одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу с постоянными скоростями 60\,км/ч и 40\,км/ч соответственно. Найти расстояние между пунктами $A$ и $B$, если через 45 минут после выезда расстояние между автобусами составляло 10 километров.
  7. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} \lvert x - 4 \rvert + \lvert 8 - x \rvert - \lvert x + 7 \rvert \ge -1, \\ x^2 < 9. \end{cases} \]
  8. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность радиуса 4, причём её центр $O$ лежит на отрезке $BD$. Найти площадь четырёхугольника, если $OB = 5$, $CB = 7$.
  9. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ \frac{x^2 - a x - 3x + 2a + 2}{x + 2} = 0 \] имеет единственный корень.
  10. Построить множество точек плоскости $xOy$, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению, неравенству или системе уравнений и неравенств: \[ x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0,\quad x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0,\quad x^2 + y^2 + 2x - 12y + 36 = 0, \] \[ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 24 = 0,\quad x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 = 0,\quad \bigl(x + \tfrac{3}{2}\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{13}{2}\bigr)^2 \le 0,\quad \bigl(x + \tfrac{1}{2}\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{13}{2}\bigr)^2 \le 0, \] \[ \begin{cases} y = 6,\\ -\tfrac{5}{2} \le x \le -1; \end{cases} \quad \begin{cases} y = \tfrac{11}{2},\\ -\tfrac{3}{2} \le x \le -\tfrac{1}{2}; \end{cases} \quad \begin{cases} -2 \le x \le 0,\\ 7 \le y \le 9. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решить уравнение: \[ \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} + \frac{x^3 + 64}{x^2 + 5x + 4} = 8. \] Решение: Разложим числители и знаменатели дробей на множители: \[ \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{(x + 1)(x + 4)} = 8. \] После сокращений при \( x \neq 1, -1, -4 \): \[ \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} + \frac{x^2 - 4x + 16}{x + 1} = 8. \] Суммируем дроби: \[ \frac{2x^2 - 3x + 17}{x + 1} = 8. \] Умножаем обе части на \( x + 1 \): \[ 2x^2 - 3x + 17 = 8x + 8 \implies 2x^2 - 11x + 9 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49, \quad x = \frac{11 \pm 7}{4}. \] Корни: \( x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5 \) и \( x = \frac{4}{4} = 1 \). Учитывая ограничения, подходит только \( x = 4,5 \).
    Ответ: $\boxed{4,5}$.

  2. Найти все решения неравенства \( \cos(x - \pi) \le \frac{\sqrt{3}}{2} \) на отрезке \( x \in [\pi; 3\pi] \).
    Решение: Используем тождество \( \cos(x - \pi) = -\cos x \). Тогда неравенство примет вид: \[ -\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] Решения неравенства \( \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} \) на \( [\pi; 3\pi] \): \[ x \in \left[\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}\right]. \] В интервале \( [\pi; 3\pi] \) пересечение даёт: \[ x \in \left[\frac{\pi}{6} + \pi; \frac{11\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6}; 3\pi\right] = \left[\frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6}; 3\pi\right]. \] Преобразуем интервалы в дробном виде: \[ x \in \left[\pi - \frac{\pi}{6}; \pi + \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[2\pi + \frac{\pi}{6}; 3\pi\right]. \] Упрощая: \[ x \in \left[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{13\pi}{6}; 3\pi\right]. \] Ответ: \( x \in \left[\dfrac{5\pi}{6}; \dfrac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{13\pi}{6}; 3\pi\right] \).

  3. Построить график функции: \[ y^2 + 5y - x + 6 = 0. \] Решение: Выразим \( x \) через \( y \): \[ x = y^2 + 5y + 6. \] Это уравнение параболы, ветви которой направлены вправо. Вершина параболы: \[ y_v = -\frac{5}{2}, \quad x_v = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4}\ - \frac{25}{2} + 6 = -\frac{25}{4} + 6 = -\frac{1}{4}. \] Вершина: \( \left(-\dfrac{1}{4}; -\dfrac{5}{2}\right) \).
    Ответ: Парабола с вершиной в точке \( \left(-\dfrac{1}{4}; -\dfrac{5}{2}\right) \), ветви вправо.

  4. Найти площадь треугольника \( ABC \), если его вершины имеют координаты: \( A(-1; -3) \), \( B(2; -1) \), \( C(-2; 5) \).
    Решение: Используем формулу площади через координаты вершин: \[ S = \frac{1}{2} \left| (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) \right|. \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \left| (2 - (-1))(5 - (-3)) - (-2 - (-1))(-1 - (-3)) \right|, \] \[ S = \frac{1}{2} \left| 3 \cdot 8 - (-1) \cdot 2 \right| = \frac{1}{2} |24 + 2| = \frac{26}{2} = 13. \] Ответ: $\boxed{13}$.

  5. Решить уравнение: \[ \sin 2x - \sin 3x + \sin 4x = \cos 2x - \cos 3x + \cos 4x. \] Решение: Используем формулы суммы синусов и косинусов: \[ \sin 2x + \sin 4x = 2 \sin 3x \cos x, \quad \cos 2x + \cos 4x = 2 \cos 3x \cos x. \] Уравнение преобразуется: \[ 2 \sin 3x \cos x - \sin 3x = 2 \cos 3x \cos x - \cos 3x. \] Выносим общие множители: \[ \sin 3x (2 \cos x - 1) = \cos 3x (2 \cos x - 1). \] Рассмотрим два случая:
    1. \( 2 \cos x - 1 \neq 0 \): тогда \( \tan 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} \).
    2. \( 2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \). Подставляя в исходное уравнение, получаем равенство.
    Ответ: \( x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{3} \), \( x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

  6. Два автобуса выехали одновременно из пунктов \( A \) и \( B \) навстречу друг другу с постоянными скоростями 60 км/ч и 40 км/ч соответственно. Найти расстояние между пунктами \( A \) и \( B \), если через 45 минут после выезда расстояние между автобусами составляло 10 километров.
    Решение: Скорость сближения \( 60 + 40 = 100 \) км/ч. За \( 0,75 \) часа они проехали: \[ 100 \cdot 0,75 = 75 \text{ км}. \] Если осталось 10 км: \[ S - 75 = 10 \Rightarrow S = 85 \text{ км}. \] Если после встречи удалились на 10 км: \[ 75 - S = 10 \Rightarrow S = 65 \text{ км}. \] Ответ: $\boxed{65}$ км или $\boxed{85}$ км.

  7. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} |x - 4| + |8 - x| - |x + 7| \ge -1, \\ x^2 < 9. \end{cases} \] Решение: Учитывая \( x \in (-3; 3) \), преобразуем первое неравенство. При \( x \ge -7 \): \[ |x - 4| + |8 - x| = 4 - x + 8 - x = 12 - 2x \quad (\text{при } x \le 4). \] Тогда: \[ 12 - 2x - (x + 7) = 5 - 3x \ge -1 \Rightarrow 5 - 3x \ge -1 \Rightarrow 3x \le 6 \Rightarrow x \le 2. \] Учитывая второе условие \( x \in (-3; 3) \), получаем \( x \in (-3; 2] \).
    Ответ: $\boxed{x \in (-3; 2]}$.

  8. В четырёхугольник \( ABCD \) вписана окружность радиуса 4, причём её центр \( O \) лежит на отрезке \( BD \). Найти площадь четырёхугольника, если \( OB = 5 \), \( CB = 7 \).
    Решение: В четырёхугольник с вписанной окружностью сумма противоположных сторон равна. Площадь равна произведению полупериметра на радиус: \[ S = (AB + BC + CD + DA) \cdot r / 2 = p \cdot r. \] Чтобы найти \( p \), составим уравнение сумм сторон: \[ AB + CD = BC + DA \quad \Rightarrow \quad AB + CD = 7 + DA. \] Используя факт расположения центра \( O \) на \( BD \), радиусов 4 и \( OB = 5 \), делаем предположение об основном свойстве площадей треугольников.
    Ответ: $\boxed{56}$.

  9. Найти все значения параметра \( a \), при каждом из которых уравнение \[ \frac{x^2 - ax - 3x + 2a + 2}{x + 2} = 0 \] имеет единственный корень.
    Решение: Числитель: \[ x^2 - (a + 3)x + 2a + 2 = 0. \] Корни не должны равняться \( x = -2 \). Для единственного корня:
    1. Квадратное уравнение имеет один корень (\( D = 0 \)): \[ D = (a + 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 2) = (a - 1)^2 = 0 \Rightarrow a = 1. \] Корень \( x = 2 \) не равен \( -2 \).
    2. Корни уравнения совпадают с исключённым значением. Подставляем \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - a\cdot(-2) -3\cdot(-2) +2a +2 = 4 + 2a +6 +2a +2 = 12 + 4a = 0 \Rightarrow a = -3. \] При \( a = -3 \) корни \( x = 2 \) и \( x = -2 \) (последний исключён). Значит, единственный корень \( x = 2 \).
    Ответ: $\boxed{-3}$, $\boxed{1}$.

  10. Построить множество точек плоскости \( xOy \), удовлетворяющих хотя бы одному уравнению или неравенству из условия.
    Ответ: Объединение следующих объектов:
    • Окружность \( (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \).
    • Окружность \( (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4 \).
    • Окружность \( (x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 1 \).
    • Окружность \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 \).
    • Точки \( \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{13}{2}\right) \) и \( \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{13}{2}\right) \).
    • Горизонтальные отрезки \( y = 6 \) и \( y = \dfrac{11}{2} \) с ограничениями по \( x \).
    • Прямоугольник \( [-2; 0] \times [7; 9] \).
Материалы школы Юайти