ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2005 год вариант ФМШ 200511-II-2
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2005 год
Вариант ФМШ 200511-II-2
- Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^3 - y^3 = 117, \\ x - y = 3. \end{cases} \]
- Решить неравенство: \[ (x^2 - 6x + 9) \cdot (x + 5) \le 0. \]
- Хорды $AB$ и $BC$ окружности перпендикулярны. Найти длину дуги $AC$, не содержащей точку $B$, если $AB = 5$, $BC = 12$.
- Упростить выражение: \[ \frac{a - \sqrt{ab}}{a\sqrt{b} - b^{3/2}} + \frac{1}{a^{1/2} + b^{1/2}}. \]
- Из пункта $A$ в пункт $B$ по озеру вышел теплоход с постоянной скоростью 40\,км/ч. Через 15 минут после этого из пункта $B$ в пункт $A$ вышел катер с постоянной скоростью 30\,км/ч. На сколько позже пришёл катер в пункт $A$, чем теплоход в пункт $B$, если они встретились через 3 часа после выхода катера? (Ответ записать в часах и минутах.)
- Построить график функции: \[ f(x) = \frac{(x + 1) \cdot (x^2 - x - 2)}{x - 2}. \]
- Сумма семи членов геометрической прогрессии равна 129, а четвёртый, третий и пятый её члены составляют, кроме того, арифметическую прогрессию. Найти геометрическую прогрессию.
- В равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 8 вписан прямоугольник так, что одна из его сторон расположена на стороне основания, а две вершины — на боковых сторонах треугольника. Найти, какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник.
- Построить множество точек плоскости $xOy$, удовлетворяющих системе неравенств: \[ \begin{cases} y \ge \frac{x + 3}{x + 2}, \\ \lvert x + 1 \rvert \le 2. \end{cases} \]
- Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ a = \frac{4x + 11}{x^2 + 4x + 5} \] имеет решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^3 - y^3 = 117, \\
x - y = 3.
\end{cases}
\]
Решение: Из второго уравнения выразим \( x = y + 3 \). Подставим в первое уравнение:
\[
(y + 3)^3 - y^3 = 117 \\
y^3 + 9y^2 + 27y + 27 - y^3 = 117 \\
9y^2 + 27y - 90 = 0 \\
y^2 + 3y - 10 = 0 \\
y = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}
\]
Корни: \( y = 2 \) и \( y = -5 \). Тогда \( x = 5 \) и \( x = -2 \).
Ответ: \((5; 2)\) и \((-2; -5)\).
- Решить неравенство:
\[
(x^2 - 6x + 9) \cdot (x + 5) \le 0
\]
Решение: Преобразуем выражение:
\[
(x - 3)^2 \cdot (x + 5) \le 0
\]
Квадрат всегда неотрицателен. Решение неравенства: \( x + 5 \le 0 \) при \( x \ne 3 \), но \( x = 3 \) даёт ноль.
Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup \{3\} \).
- Хорды \( AB \) и \( BC \) окружности перпендикулярны. Найти длину дуги \( AC \), если \( AB = 5 \), \( BC = 12 \).
Решение: Треугольник \( ABC \) прямоугольный с гипотенузой \( AC = 13 \). Диаметр описанной окружности равен гипотенузе, радиус \( R = \frac{13}{2} \). Центральный угол дуги \( AC \) равен \( 180^\circ \). Длина дуги: \[ L = \pi R = \frac{13\pi}{2} \] Ответ: \( \frac{13\pi}{2} \).
- Упростить выражение:
\[
\frac{a - \sqrt{ab}}{a\sqrt{b} - b^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}
\]
Решение: Упростим первое слагаемое:
\[
\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{b}(a - b)} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}
\]
Общий знаменатель с вторым слагаемым:
\[
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{b}}
\]
Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{b}} \).
- Теплоход и катер: расстояние \( S = 40 \cdot 3.25 + 30 \cdot 3 = 220 \) км. Время теплохода: \( \frac{220}{40} = 5.5 \) ч, катера: \( \frac{220}{30} \approx 7\frac{1}{3} \) ч. Разница: \( 7\frac{1}{3} - 5.5 = 1\frac{5}{6} \) ч \( = 1\)ч \(50\) мин.
Ответ: \( 1\) ч \(50\) мин.
- График функции \( f(x) = \frac{(x + 1)(x^2 - x - 2)}{x - 2} \). Упростим: \( f(x) = (x+1)^2 \) при \( x \ne 2 \). Выколотая точка при \( x = 2 \).
Ответ: График параболы \( y = (x+1)^2 \) с выколотой точкой \( (2; 9) \).
- Геометрическая прогрессия: \( S_7 = 129 \), \( b_4, b_3, b_5 \) — арифметическая прогрессия. Условие \( 2b_4 = b_3 + b_5 \) дает \( q = 1 \). Тогда \( 7b_1 = 129 \Rightarrow b_1 = \frac{129}{7} \).
Ответ: \( b_n = \frac{129}{7} \).
- Максимальная площадь прямоугольника: параметризация \( S(y) = \frac{24y - 8y^2}{3} \). Максимум при \( y = 1.5 \), площадь \( 6 \).
Ответ: \( 6 \).
- Множество точек: \( y \ge \frac{x+3}{x+2} \) и \( |x+1| \le 2 \). Область \( x \in [-3; 1] \). При \( x \in [-3; -2) \) неравенство \( y \ge 0 \), при \( x \in (-2; 1] \) — \( y \ge \frac{4}{3} \).
Ответ: Объединение областей.
- Параметр \( a \): преобразуем уравнение к квадратному и найдем дискриминант.
Ответ: \( a \in [-1; 4] \).
Материалы школы Юайти