ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2005 год вариант ФМШ 200511-II-1

ФМШ МИЭМ

2005 год

Вариант ФМШ 200511-II-1

1. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^3 + y^3 = 91, \\ x + y = 7. \end{cases} \]
2. Решить неравенство: \[ (x^2 + 10x + 25) \cdot (x - 7) \ge 0. \]
3. Хорды $AB$ и $BC$ окружности перпендикулярны. Найти длину дуги $AC$, содержащей точку $B$, если $AB = 3$, $BC = 4$.
4. Упростить выражение: \[ \frac{b + \sqrt{ab}}{\sqrt{a}\,b - a^{3/2}} - \frac{1}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}. \]
5. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобилист с постоянной скоростью 80\,км/ч. Через 20 минут после этого из пункта $B$ в пункт $A$ выехал мотоциклист с постоянной скоростью 60\,км/ч. На сколько позже приехал мотоциклист в пункт $B$, чем автомобилист в пункт $B$, если они встретились через 2 часа после выезда автомобилиста? (Ответ записать в часах и минутах.)
6. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{(x - 1) \cdot (x^2 + x - 2)}{x + 2}. \]
7. Сумма пяти членов геометрической прогрессии равна 44, а третий, второй и четвёртый её члены составляют, кроме того, арифметическую прогрессию. Найти геометрическую прогрессию.
8. В равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и 24 вписан прямоугольник так, что одна из его сторон расположена на стороне основания, а две вершины — на боковых сторонах треугольника. Найти, какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник.
9. Построить множество точек плоскости $xOy$, удовлетворяющих системе неравенств: \[ \begin{cases} y \le \frac{x - 1}{x - 2}, \\ \lvert x - 1 \rvert \le 2. \end{cases} \]
10. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ a = \frac{6x + 1}{x^2 + 2x + 5} \] имеет решение.

Решения задач

1. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^3 + y^3 = 91, \\ x + y = 7. \end{cases} \] Решение: Используем формулу суммы кубов: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x^2 - xy + y^2) = 91. \] Отсюда: \[ x^2 - xy + y^2 = 13. \] Из квадрата суммы \( (x + y)^2 = 49 \) находим \( x^2 + y^2 = 49 - 2xy \). Подставляем: \[ 49 - 3xy = 13 \Rightarrow xy = 12. \] Система \( x + y = 7 \), \( xy = 12 \) приводит к квадратному уравнению: \[ t^2 - 7t + 12 = 0 \Rightarrow t = 3 \text{ или } t = 4. \] Ответ: Решения \((3; 4)\) и \((4; 3)\).
   
   
2. Решить неравенство: \[ (x^2 + 10x + 25) \cdot (x - 7) \ge 0. \] Решение: Преобразуем выражение: \[ (x + 5)^2 \cdot (x - 7) \ge 0. \] Квадрат всегда неотрицателен. Решение: \[ x \in \{-5\} \cup [7; +\infty). \] Ответ: \( x \in \{-5\} \cup [7; +\infty) \).
   
   
3. Хорды \(AB\) и \(BC\) окружности перпендикулярны. Найти длину дуги \(AC\), содержащей точку \(B\), если \(AB = 3\), \(BC = 4\).
   Решение: Треугольник \(ABC\) прямоугольный с гипотенузой \(AC = 5\). Так как \(AC\) — диаметр окружности (\(R = 2.5\)), длина дуги \(AC\) соответствует полуокружности: \[ \pi R = \frac{5}{2}\pi. \] Ответ: \(\frac{5}{2}\pi\).
   
   
4. Упростить выражение: \[ \frac{b + \sqrt{ab}}{\sqrt{a}\,b - a^{3/2}} - \frac{1}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}. \] Решение: Упрощаем числитель и знаменатель первой дроби: \[ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}(b - a)} - \frac{1}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(b - a)} - \frac{1}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}. \] Приводим к общему знаменателю и сокращаем: \[ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})} = 0. \] Ответ: \(0\).
   
   
5. Автомобилист и мотоциклист выехали навстречу друг другу. Расстояние \(S = 260\) км. Время автомобилиста до пункта \(B\): \[ \frac{260}{80} = 3.25 \text{ ч} = 3 \text{ ч } 15 \text{ мин}. \] Мотоциклист прибыл в пункт \(A\) через: \[ \frac{160}{60} = \frac{8}{3} \text{ ч} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин}. \] Общее время мотоциклиста: \[ 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 3 \text{ ч}. \] Ответ: Разница во времени отсутствует (чтобы объяснить ошибку условия).
   
   
6. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{(x - 1) \cdot (x^2 + x - 2)}{x + 2}. \] Решение: Упрощаем: \[ f(x) = (x - 1)^2 \quad (x \neq -2). \] График — парабола \(y = (x - 1)^2\) с выколотой точкой при \(x = -2\).
7. Геометрическая прогрессия: члены \(b\), \(bq\), \(bq^2\), \(bq^3\), \(bq^4\). Сумма: \[ b(1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = 44. \] Условие арифметической прогрессии: \[ 2q^2 = q + q^3 \Rightarrow q = 1. \] Тогда \(b = 8.8\). Ответ: \(8.8\), \(8.8\), \(8.8\), \(8.8\), \(8.8\).
8. Наибольшая площадь прямоугольника в треугольнике: \[ S = \frac{24}{5}y(5 - y) \Rightarrow S_{\text{max}} = 30. \] Ответ: \(30\).
9. Множество точек: \[ y \le \frac{x - 1}{x - 2}, \quad |x - 1| \le 2. \] Область \(x \in [-1, 3]\) без точки \(x = 2\). Анализ ветвей гиперболы.
10. Уравнение: \[ a = \frac{6x + 1}{x^2 + 2x + 5}. \] Дискриминант квадратного уравнения: \[ 16a^2 + 20a - 36 \le 0. \] Ответ: \[ a \in \left[\frac{-5 - 9\sqrt{2}}{8}, \frac{-5 + 9\sqrt{2}}{8}\right]. \]