8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМЛ №30 из 9 в 10 класс 2019 вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2019 год


Вариант 2



  1. Упростить: \[ \bigl(\sqrt{a} + \tfrac{b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\bigr) \Bigl(1 + \tfrac{\sqrt{b^3}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}\Bigr) (\sqrt{a} - \sqrt{b}). \]
  2. На финальной распродаже скидка на все товары составляет \(70\%\), при этом по карте магазина постоянным покупателям предоставляется дополнительная скидка \(20\%\). При каком последовательном использовании скидок итоговая скидка больше и сколько она составит в каждом случае?
  3. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0 = 154\) Гц. Чуть позже подъезжающий к платформе тепловоз издал гудок с частотой \[ f(v) = \frac{f_0}{1 - \tfrac{v}{c}} \quad\text{(Гц)}, \] где \(c = 320\) м/с. Человек различает по тону сигналы, если они отличаются как минимум на \(6\) Гц. Определите минимальную скорость \(v\) приближающегося тепловоза.
  4. Решите уравнение: \[ (x + 6)\sqrt{x^2 - x - 20} \;=\; 6x + 36. \]
  5. Решите уравнение: \[ (x^2 + 4x)^2 - 2(x^2 + 4x) = 15. \]
  6. Решите неравенство: \[ \lvert x^2 - 9\rvert \;\le\; 8x. \]
  7. Решите неравенство: \[ \frac{(x-1)^3}{2x - 3} \;\le\; x - 1. \]
  8. При каком \(q\) сумма квадратов корней уравнения \[ 2x^2 - 8x + q = 0 \] равна \(16\)?
  9. Постройте график функции \[ f(x) = \frac{\lvert x^2 + 2x\rvert\,(x - 1)}{x}. \]
  10. В \(\triangle ABC\) проведены медиана \(BN\) и средняя линия \(KM\). Точка \(O\) — их точка пересечения. Какую часть площади \(\triangle ABC\) составляет площадь \(\triangle OMN\)?
  11. Постройте график функции \[ g(x) = \frac{x - 2}{2x - x^2}, \] и определите:
    1. при каких \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком \(g(x)\) ровно одну общую точку;
    2. при каких \(b\) прямая \(y = bx + 2\) имеет с графиком \(g(x)\) ровно одну общую точку.
  12. \(MKNP\) — выпуклый четырёхугольник с прямыми углами при вершинах \(M\) и \(N\), \(\angle P = 120^\circ\), \(KM = 4\), \(KN = 6\). Найдите длину \(PK\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: \[ \bigl(\sqrt{a} + \tfrac{b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\bigr) \Bigl(1 + \tfrac{\sqrt{b^3}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}\Bigr) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) \] Решение: Последовательно упростим выражение, используя формулы разности квадратов: \[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b \] Для второго множителя домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\): \[ 1 + \tfrac{\sqrt{b^3}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}} = 1 + \tfrac{b^{3/2}}{(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3} = 1 + \tfrac{b^{3/2}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)} \] После подстановки всех преобразований итоговое упрощение дает:
    Ответ: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\).

  2. На финальной распродаже скидка на все товары составляет \(70\%\), дополнительная скидка \(20\%\).
    Решение: Первый вариант: сначала 70\%, затем 20% от остатка: \[ (1 - 0,7)(1 - 0,2) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24 \quad (76% \text{ скидка}) \] Второй вариант: сначала 20\%, затем 70% от остатка: \[ (1 - 0,2)(1 - 0,7) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24 \quad (76% \text{ скидка}) \] Ответ: В обоих случаях итоговая скидка 76\%.

  3. Определите минимальную скорость \(v\):
    Решение: Из условия \(f(v) - f_0 \ge 6\) Гц: \[ \frac{154}{1 - \tfrac{v}{320}} - 154 \ge 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{v}{320 - v} \ge \frac{6}{154} \] Решая неравенство, получаем \(v \ge 12\) м/с.
    Ответ: 12 м/с.

  4. Решите уравнение: \[ (x + 6)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 36 \] Решение: Перенесем правую часть влево: \[ (x + 6)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x + 6) = 0 \] Выносим общий множитель: \[ (x + 6)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0 \] Корни: \(x = -6\) (посторонний, не входит в ОДЗ) и \(\sqrt{x^2 - x - 20} = 6\): \[ x^2 - x - 56 = 0 \quad \Rightarrow x = 8 \text{ или } x = -7 \text{ (посторонний)} \] Ответ: \(x = 8\).

  5. Решите уравнение: \[ (x^2 + 4x)^2 - 2(x^2 + 4x) = 15 \] Решение: Замена \(y = x^2 + 4x\): \[ y^2 - 2y - 15 = 0 \quad \Rightarrow y = 5 \text{ или } y = -3 \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \quad \Rightarrow x = -5, 1 \] \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \quad \Rightarrow x = -1, -3 \] Ответ: \(-5\), \(-3\), \(-1\), \(1\).

  6. Решите неравенство: \[ \lvert x^2 - 9\rvert \le 8x \] Решение: Раскрываем модуль: \[ -8x \le x^2 - 9 \le 8x \] Решаем систему: \[ \begin{cases} x^2 - 8x - 9 \le 0 \\ x^2 + 8x - 9 \ge 0 \end{cases} \] ОДЗ: \(x \ge 1\), объединение решений дает \(1 \le x \le 9\).
    Ответ: \([1; 9]\).

  7. Решите неравенство: \[ \frac{(x-1)^3}{2x - 3} \le x - 1 \] Решение: Переносим все члены влево и приводим к общему знаменателю: \[ \frac{(x-1)^3 - (x-1)(2x - 3)}{2x - 3} \le 0 \] Упрощаем числитель: \[ (x-1)(x^2 - 2x + 1 - 2x + 3) = (x-1)(x^2 - 4x + 4) = (x-1)(x-2)^2 \] Метод интервалов дает \(x \in (-\infty; 1] \cup (\frac{3}{2}; 2) \cup (2; +\infty)\).
    Ответ: \((-\infty;1] \cup (\frac{3}{2};+\infty)\).

  8. При каком \(q\) сумма квадратов корней уравнения \(2x^2 - 8x + q = 0\) равна 16?
    Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 4, \quad x_1x_2 = \frac{q}{2} \] Условие: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - q = 16 \quad \Rightarrow q = 0 \] Ответ: \(q = 0\).

  9. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{\lvert x^2 + 2x\rvert\,(x - 1)}{x} \] Решение: Упрощаем выражение при \(x \ne 0\): \[ f(x) = \lvert x + 2\rvert (x - 1) \] С учетом области определения и разрыва в точке \(x = 0\):
    График состоит из ветвей параболы с изломом при \(x = -2\) и разрывом в нуле.

  10. Площадь \(\triangle OMN\) составляет \(\frac{1}{8}\) площади \(\triangle ABC\).
    Ответ: \(\frac{1}{8}\).

  11. Для функции \(g(x) = \frac{x - 2}{2x - x^2}\):
    1. При \(k = \frac{1}{2}\) и \(k = 0\) одна точка пересечения.
    2. При \(b = 1\) и \(b = -1\) одна общая точка.


  12. Длина \(PK = 2\sqrt{21}\).
Материалы школы Юайти