8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМЛ №30 из 9 в 10 класс 2019 вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2019 год


Вариант 1



  1. Упростить: \[ \bigl(\sqrt{a} + \sqrt{b}/\sqrt{a - \sqrt{b}}\bigr) \Bigl(1 - \frac{b}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}\Bigr) \bigl(\sqrt{a} + \sqrt{b}\bigr). \]

  2. На финальной распродаже скидка на все товары составляет 50\%, при этом по карте магазина постоянным покупателям предоставляется дополнительная скидка 30\%. При каком последовательном использовании скидок итоговая скидка больше и сколько она составит в каждом случае?

  3. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0 = 593\)~Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из–за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) больше первой: она зависит от скорости тепловоза по закону \[ f(v) = \frac{f_0}{1 - \tfrac{v}{c}} \quad(\text{Гц}), \] где \(c\) — скорость звука в м/с. Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 7~Гц. Определите, с какой минимальной скоростью \(v\) приближался к платформе тепловоз, если \(c = 300\)~м/с. Ответ выразите в м/с.

  4. Решите уравнение: \[ (x - 4)\sqrt{x^2 - x - 6} = 6x - 24. \]

  5. Решите уравнение: \[ (x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) = 8. \]

  6. Решить неравенство: \[ \lvert x^2 - 4\rvert \;\le\; 3x. \]

  7. Решить неравенство: \[ \frac{x^3}{2x - 1} \;\le\; x. \]

  8. При каком значении \(q\) квадрат разности корней уравнения \[ 2x^2 - 2x + q = 0 \] равен 9?

  9. Построить график функции \[ f(x) = \frac{\lvert x^2 - 3x\rvert\,(x + 1)}{x}. \]

  10. В \(\triangle ABC\) проведены медианы \(AM\) и \(CN\). Точка \(O\) — их точка пересечения. Какую часть площади \(\triangle ABC\) составляет площадь четырёхугольника \(NBMO\)?

  11. Построить график функции \[ g(x) = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} \] и определить:
    1. при каких \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком \(g(x)\) только одну общую точку;
    2. при каких \(b\) прямая \(y = bx + 2\) имеет с графиком \(g(x)\) только одну общую точку.


  12. \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник с прямыми углами при вершинах \(B\) и \(D\), \(\angle A = 45^\circ\), \(BC = 4\), \(CD = 3\sqrt{2}\). Найдите длину диагонали \(AC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \left(\sqrt{a} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right)\left(1 - \frac{b}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right). \] Решение:
    Рассмотрим каждую часть отдельно:
    1. Первая скобка: $\sqrt{a} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.
    2. Вторая скобка: $1 - \frac{b}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{a}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$.
    3. Перемножим первые части: $\frac{a + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{a\sqrt{a}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$.
    Итоговое упрощение дает: $\sqrt{a}$.
    Ответ: $\sqrt{a}$.

  2. Сравнение последовательных скидок:
    1 случай: Сначала 50\%, затем 30\%:
    Цена после первой скидки: $0,5$.
    Цена после второй: $0,5 \cdot 0,7 = 0,35$ (итоговая скидка 65\%).
    2 случай: Сначала 30\%, затем 50\%:
    Цена после первой скидки: $0,7$.
    Цена после второй: $0,7 \cdot 0,5 = 0,35$ (итоговая скидка 65\%).
    Ответ: Скидки равны 65% в обоих случаях.

  3. Минимальная скорость тепловоза:
    Разность частот: $\frac{593}{1 - \tfrac{v}{300}} - 593 \ge 7$.
    Решаем уравнение:
    $\frac{593v}{300 - v} = 7$ $\Rightarrow$ $v \approx 9.9$ м/с.
    Ответ: 10 м/с.

  4. Решение уравнения: \[ (x - 4)\sqrt{x^2 - x - 6} = 6(x - 4). \] Выносим общий множитель $(x - 4)$:
    $(x - 4)(\sqrt{x^2 - x - 6} - 6) = 0$.
    Ответ: $x = 4$ или $x = 5$.

  5. Решение уравнения: \[ (x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0. \] Замена $y = x^2 - 3x$:
    $y^2 - 2y - 8 = 0$ $\Rightarrow$ $y = 4$ или $y = -2$.
    Возвращаемся к $x$:
    Ответ: $x = -1$, $1$, $2$, $4$.

  6. Решение неравенства: \[ |x^2 - 4| \le 3x. \] Разбиваем на два случая:
    $x^2 - 4 \le 3x$ и $-x^2 + 4 \le 3x$.
    ОДЗ: $x > 0$.
    Ответ: $x \in [1, 4]$.

  7. Решение неравенства: \[ \frac{x^3}{2x - 1} \le x. \] Переносим $x$ влево и упрощаем:
    $\frac{x(x^2 - 2x + 1)}{2x - 1} \le 0$.
    Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup (0.5, 1]$.

  8. Значение параметра $q$:
    Квадрат разности корней: $(x_1 - x_2)^2 = 9$.
    Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1x_2 = q/2$.
    $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1 - 2q = 9$.
    Ответ: $q = -4$.

  9. График функции: \[ f(x) = \frac{|x^2 - 3x|(x + 1)}{x}. \] Разбиваем на случаи по знаку $x$ и упрощаем:
    При $x > 0$: $f(x) = (x - 3)(x + 1)$.
    При $x < 0$: $f(x) = -\frac{(x^2 - 3x)(x + 1)}{x}$.

  10. Площадь четырёхугольника $NBMO$:
    Медианы делят треугольник на 6 равных частей. Четырёхугольник занимает $\frac{1}{3}$ площади.
    Ответ: $\frac{1}{3}$.

  11. График функции $g(x)$:
    Вертикальная асимптота: $x = -\frac{1}{2}$, горизонтальная: $y = 0$.
    1. Условие $kx = \frac{2x + 1}{2x^2 + x}$ имеет одно решение при $k = \frac{1}{2}$.
    2. Прямая пересекает график один раз при $b = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ или $b = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$.


  12. Длина диагонали $AC$:
    Используем теорему Пифагора и координаты точек:
    $AC = \sqrt{(4 + 3)^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{49 + 18} = \sqrt{67}$.
    Ответ: $\sqrt{67}$.
Материалы школы Юайти