ФМЛ №30 из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1

1. Вычислите: \[ 48:20:2 + 8\cdot31\cdot3 - 12\cdot2. \]
   
   
2. Ира и Катя собирали грибы. Вместе они нашли 217 грибов, причём Ира нашла на 31 гриб больше. Сколько грибов нашла Катя?
   
   
3. К числу 21 прибавили утроенное задуманное число, полученную сумму удвоили, после чего из результата вычли 8. В результате получили 58. Какое число задумали?
   
   
4. В шестизначном числе сумма всех цифр равна 10, при этом нечётных цифр в записи числа нет. Чему равно произведение всех цифр числа?
   
   
5. В каждом из трёх коробков лежат спички. В одном из коробков лежит на 17 спичек больше, чем в другом. Сколько спичек лежит в каком коробке, если всего спичек 20? Запишите ответ в любом порядке.
   
   
6. Карыч и Совуня пили чай с пирожками. До начала чаепития полный чайник весил столько же, сколько 19 пирожков. Когда в чайнике осталось $\tfrac{2}{3}$ чая, он весил столько же, сколько 14 пирожков. Сколько пирожков уравновесит пустой чайник?
   
   
7. Сумма трёх чисел на 26 больше суммы второго и третьего и на 44 больше суммы первого и второго. Найдите второе число, если оно больше первого на столько же, насколько меньше третьего.
   
   
8. В магазине продают наборы из бубликов и пряников. В некоторых наборах 7 пряников и 3 бублика, а в некоторых — по 5 того и другого. При этом во всех наборах вместе 300 изделий. Сколько тех наборов, где пряников и бубликов поровну, если всего во всех наборах 126 бубликов?
   
   
9. На ленту пришиты синяя, белая, красная и зелёная пуговицы. Красная пуговица пришита между синей и зелёной, а зелёная между синей и белой (не обязательно подряд). Расстояние от синей до зелёной 12 см, от красной до белой 17 см, от зелёной до красной 5 см. Каково расстояние между крайними пуговицами?
   
   
10. Куртка стоит 3600 рублей и ещё четверть своей стоимости. Сколько всего рублей стоит куртка?
    
    
11. Из 12 одинаковых квадратов со стороной 3~см составили прямоугольник. Каким может быть наибольшее значение периметра этого прямоугольника?
    
    
12. Математик, приехав в гостиницу, заметил, что если к сумме номера этажа и номера комнаты прибавить их разность, то получится 18, а если из суммы номера этажа и номера комнаты вычесть их разность, то получится 6. На каком этаже и в какой комнате он поселился?
    Этаж: $\underline{\hspace{3cm}}$
    Комната: $\underline{\hspace{3cm}}$
    
    
13. Из квадрата со стороной 13 см вырезали квадрат со стороной 12 см. Оставшуюся фигуру разрезали на квадратики со стороной 1 см и сложили из всех них квадрат. Сколько сантиметров сторона этого квадрата?
    
    
14. Длина коробки 37 см, ширина 24 см, высота 9 см. Длина плитки шоколада 12 см, ширина 5 см, толщина 2 см. Какое наибольшее число плиток шоколада можно положить в коробку, чтобы она закрылась, если класть шоколадки можно как угодно, а ломать нельзя?
    
    
15. Клоун нёс воздушные шарики. Сначала улетела в небо половина всех шариков и ещё половина одного, потом половина оставшихся и ещё половина одного, и снова половина оставшихся и ещё половина одного. После этого у клоуна осталось 4 шарика. Сколько шариков было у клоуна изначально?

Решения задач

1. Вычислите: \[ 48:20:2 + 8\cdot31\cdot3 - 12\cdot2. \] Решение: \[ 48:20:2 + 8 \cdot31 \cdot3 - 12\cdot2 = 1,2 + 744 - 24 = 745,2 - 24 = 721,2. \] Ответ: 721,2.
   
   
2. Ира и Катя собирали грибы. Вместе они нашли 217 грибов, причём Ира нашла на 31 гриб больше. Сколько грибов нашла Катя?
   Решение: Пусть Катя нашла \( x \) грибов. Тогда: \[ x + (x + 31) = 217 \quad \Rightarrow \quad 2x = 186 \quad \Rightarrow \quad x = 93. \] Ответ: 93.
   
   
3. К числу 21 прибавили утроенное задуманное число, полученную сумму удвоили, после чего из результата вычли 8. В результате получили 58. Какое число задумали?
   Решение: Пусть задуманное число — \( x \): \[ (21 + 3x) \cdot 2 - 8 = 58 \quad \Rightarrow \quad 42 + 6x - 8 = 58 \quad \Rightarrow \quad 6x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 4. \] Ответ: 4.
   
   
4. В шестизначном числе сумма всех цифр равна 10, при этом нечётных цифр в записи числа нет. Чему равно произведение всех цифр числа?
   Решение: Среди чётных цифр сумма 10 достигается, если есть ноль. Тогда произведение будет содержать множитель 0: \[ \text{Произведение} = 0. \] Ответ: 0.
   
   
5. В каждом из трёх коробков лежат спички. В одном из коробков лежит на 17 спичек больше, чем в другом. Сколько спичек лежит в каком коробке, если всего спичек 20?
   Решение: Подходит вариант коробок: 1, 18, 1 (18 - 1 = 17; 1 + 18 + 1 = 20). Или 0, 17, 3 (17 - 0 = 17; 0 +17 +3 =20).
   Ответ: 1, 1, 18 или 0, 17, 3.
   
   
6. Карыч и Совуня пили чай с пирожками. До начала чаепития полный чайник весил столько же, сколько 19 пирожков. Когда в чайнике осталось $\tfrac{2}{3}$ чая, он весил столько же, сколько 14 пирожков. Сколько пирожков уравновесит пустой чайник?
   Решение: Пусть вес пустого чайника \( x \), вес чая \( y \): \[ \begin{cases} x + y = 19p \\ x + \frac{2}{3}y = 14p \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3}y = 5p \quad \Rightarrow \quad y = 15p \quad \Rightarrow \quad x = 4p. \] Ответ: 4.
   
   
7. Сумма трёх чисел на 26 больше суммы второго и третьего и на 44 больше суммы первого и второго. Найдите второе число, если оно больше первого на столько же, насколько меньше третьего.
   Решение: \[ \begin{cases} a + b + c = (b + c) + 26 \quad \Rightarrow \quad a = 26 \\ a + b + c = (a + b) + 44 \quad \Rightarrow \quad c = 44 \\ b - a = c - b \end{cases} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{a + c}{2} = \frac{26 + 44}{2} = 35. \] Ответ: 35.
   
   
8. В магазине продают наборы из бубликов и пряников. В некоторых наборах 7 пряников и 3 бублика, а в некоторых — по 5 того и другого. При этом во всех наборах вместе 300 изделий. Сколько тех наборов, где пряников и бубликов поровну, если всего во всех наборах 126 бубликов?
   Решение: Пусть наборов первого типа \( x \), второго — \( y \): \[ \begin{cases} 3x + 5y = 126 \\ 10x + 10y = 300 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad y = 18. \] Ответ: 18.
   
   
9. На ленту пришиты синяя, белая, красная и зелёная пуговицы. Красная пуговица пришита между синей и зелёной, а зелёная между синей и белой. Расстояние от синей до зелёной 12 см, от красной до белой 17 см, от зелёной до красной 5 см. Каково расстояние между крайними пуговицами?
   Расположение: Синяя — Красная — Зелёная — Белая. Расстояния: \[ 7 \text{ см (С-К)} + 5 \text{ см (К-З)} + 12 \text{ см (З-Б)} = 24 \text{ см}. \] Ответ: 24 см.
   
   
10. Куртка стоит 3600 рублей и ещё четверть своей стоимости. Сколько всего рублей стоит куртка?
    Решение: Пусть стоимость куртки \( x \): \[ x = 3600 + \frac{x}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{3x}{4} = 3600 \quad \Rightarrow \quad x = 4800. \] Ответ: 4800.
    
    
11. Из 12 одинаковых квадратов со стороной 3~см составили прямоугольник. Каким может быть наибольшее значение периметра этого прямоугольника?
    Решение: Наиболее вытянутый прямоугольник 1×12: \[ P = 2 \cdot (3 \cdot 12 + 3) = 2 \cdot 39 = 78 \text{ см}. \] Ответ: 78 см.
    
    
12. Математик, приехав в гостиницу, заметил, что если к сумме номера этажа и номера комнаты прибавить их разность, то получится 18, а если из суммы номера этажа и номера комнаты вычесть их разность, то получится 6. На каком этаже и в какой комнате он поселился?
    Решение: Пусть этаж \( E \), комната \( K \): \[ \begin{cases} (E + K) + (E - K) = 18 \quad \Rightarrow \quad 2E = 18 \quad \Rightarrow \quad E = 9 \\ (E + K) - (E - K) = 6 \quad \Rightarrow \quad 2K = 6 \quad \Rightarrow \quad K = 3 \end{cases} \] Ответ: Этаж:$ \underline{9} $
    Комната: $\underline{3}$
    
    
13. Из квадрата со стороной 13 см вырезали квадрат со стороной 12 см. Оставшуюся фигуру разрезали на квадратики со стороной 1 см и сложили из всех них квадрат. Сколько сантиметров сторона этого квадрата?
    Решение: Площадь исходной фигуры: \[ 13^2 - 12^2 = 25 \text{ см}^2 \quad \Rightarrow \quad \text{Сторона нового квадрата} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}. \] Ответ: 5.
    
    
14. Длина коробки 37 см, ширина 24 см, высота 9 см. Длина плитки шоколада 12 см, ширина 5 см, толщина 2 см. Какое наибольшее число плиток шоколада можно положить в коробку?
    Решение: При размещении вдоль длины коробки 7 плиток (7×5 = 35 см), по ширине 2 плитки (2×12 =24 см), высота 4 слоя (4×2 =8 см): \[ 7 \times 2 \times 4 = 56 \text{ плиток}. \] Ответ: 56.
    
    
15. Клоун нёс воздушные шарики. Сначала улетела в небо половина всех шариков и ещё половина одного, потом половина оставшихся и ещё половина одного, и снова половина оставшихся и ещё половина одного. После этого у клоуна осталось 4 шарика. Сколько шариков было у клоуна изначально?
    Решение: Пусть изначально \( x \) шариков. Обратный ход: \[ \begin{aligned} \text{После 3 этапа:} & \quad 4 = \frac{y}{2} - 0,5 \quad \Rightarrow \quad y =9. \\ \text{После 2 этапа:} & \quad 9 = \frac{z}{2} -0,5 \quad \Rightarrow \quad z =19. \\ \text{После 1 этапа:} & \quad19 = \frac{x}{2} -0,5 \quad \Rightarrow \quad x = 39. \end{aligned} \] Ответ: 39.