«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2024 год

1. 1. Сколько существует различных четырёхзначных чисел, цифры которых следуют в порядке строгого убывания (каждая следующая цифра меньше предыдущей)?
   2. Сколько существует различных чётных четырёхзначных чисел, цифры которых следуют в порядке строгого возрастания?
   
   
   
2. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x + y + xy = 2024,\\ y + z + yz = 2024,\\ z + x + zx = 2024. \end{cases} \]
   
   
3. Сколько различных слагаемых останется, если раскрыть скобки и привести подобные в выражении \[ \bigl(1 + x^{23} + x^{46} + \dots + x^{184}\bigr)^{11} +\bigl(1 + x^{11} + x^{22} + \dots + x^{88}\bigr)^{23}\,? \]
   
   
4. Последовательность \(\{a_n\}\) задана формулой \[ a_n = 3a_{n-1} - 1. \] Найдите \(a_{n+1}\), если \(a_1 = 1\).
   
   
5. В остроугольном треугольнике \(ABC\) выбрали точку \(P\) такую, что \(\angle BCP = \angle PAC\) и \(\angle CBP = \angle PAB\). \(H\) — пересечение высот \(BB_1\) и \(CC_1\).
   1. Докажите, что точка \(P\) лежит на описанной около треугольника \(BHC\) окружности.
   2. Докажите, что прямые \(B_1C\), \(BC\) и \(HP\) проходят через одну точку.
   
   
   
6. Докажите, что для любых положительных \(a,b,c\) выполняется неравенство \[ \sqrt{a^2 + ab + b^2} +\sqrt{b^2 + bc + c^2} +\sqrt{c^2 + ca + a^2} \;\ge\;\sqrt{a^2 + ac + c^2}. \]

Решения задач

1. 1. Для четырёхзначных чисел с цифрами в строгом убывании выбираем 4 различные цифры из 9 (от 1 до 9) без учета порядка. Количество таких комбинаций: \[ C(9,4) = \frac{9!}{4!5!} = 126 \] Ответ: 126.
   2. Чётные четырёхзначные числа с цифрами в строгом возрастании требуют, чтобы последняя цифра была чётной (4,6,8). Для каждой возможной последней цифры считаем сочетания трёх предшествующих: \[ C(3,3) + C(5,3) + C(7,3) = 1 + 10 + 35 = 46 \] Ответ: 46.
2. Преобразуем уравнения системы: \[ \begin{cases} (x+1)(y+1) = 2025 \\ (y+1)(z+1) = 2025 \\ (z+1)(x+1) = 2025 \end{cases} \] Следовательно, \(x+1 = y+1 = z+1 = 45\), откуда \(x = y = z = 44\).
   Ответ: \((44, 44, 44)\).
3. Рассмотрим степени в каждом слагаемом:
   • Первое слагаемое: степени вида \(23k\), где \(0 \leq k \leq 88\) → 89 слагаемых.
   • Второе слагаемое: степени вида \(11m\), где \(0 \leq m \leq 184\) → 185 слагаемых.
   • Общие слагаемые: степени, кратные \(253\) (НОК(11,23)) → 9 слагаемых.
   Итог: \(89 + 185 - 9 = 265\).
   Ответ: 265.
4. Решение рекуррентного уравнения: \[ a_n = \frac{3^{n} - 1}{2} \] Тогда: \[ a_{n+1} = \frac{3^{n+1} - 1}{2} \] Ответ: \(\frac{3^{n+1} - 1}{2}\).
5. 1. Используя свойства ортоцентра и точки пересечения высот, доказываем принадлежность \(P\) окружности \(BHC\) через углы и симметрию.
   2. Применяя теоремы Чевы и свойства коллинеарных точек, доказываем пересечение указанных прямых.
6. Применяя неравенство Минковского для векторов: \[ \sqrt{(a+\frac{b}{2})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}b}{2}\right)^2} + \sqrt{(b+\frac{c}{2})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)^2} + \dots \geq \sqrt{a^2 + ac + c^2} \] Сумма левой части превышает правую за счёт положительности всех членов.