«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2025 год

1. Упростите выражение: \[ \Biggl( \frac{x + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{a}} \;-\; \frac{x - \sqrt{a}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{a}} \;+\; \frac{\sqrt[3]{x\cdot a^2} - \sqrt[3]{x^4\cdot\sqrt{a}}}{x - \sqrt{a}} \Biggr)^{3}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{25x^4 - 10x^2 + 1} + \bigl|5x^2 - 2\bigr| = 10x^2 - 3. \]
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert 2x + 5\rvert}{x^2 - 14x + 24} \;\ge\; \frac{\lvert 2x + 5\rvert}{3x^2 - 8x + 4}. \]
   
   
4. Найдите множество корней уравнения, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots = \frac{7}{2}, \quad n \in \mathbb{N},\;\lvert x\rvert < 1. \]
   
   
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых один корень уравнения в два раза больше другого: \[ x^2 - 2(3a + 1)x + 8a^2 + 10a - 3 = 0. \]
   
   
6. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CBD = 45^\circ$, $\angle ABD = 57^\circ$, $\angle ADC = 78^\circ$. Найдите радиус описанной окружности около треугольника $ABD$, если $DC = 5\text{ см}$.
   
   
7. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB = 10$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь треугольника $ABE$, где $E$ — точка пересечения $AM$ и стороны $BC$, а $\sin \angle BAM = 0.8$.
   
   
8. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Докажите, что $AD = BD$.
   
   
9. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств: \[ \begin{cases} (x-1)^2 + (\lvert y\rvert - 1)^2 \le 1,\\ \lvert y\rvert \ge \lvert x - 2\rvert. \end{cases} \]
   
   
10. В детский сад записали 20 детей — 10 мальчиков и 10 девочек. Их решили разделить на две одинаковые по количеству группы — «Яблонька» и «Рябинка» таким образом, что в каждой группе должно быть не менее 4 девочек. Сколько существует способов разбить детей на две группы?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Biggl( \frac{x + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{a}} \;-\; \frac{x - \sqrt{a}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{a}} \;+\; \frac{\sqrt[3]{x\cdot a^2} - \sqrt[3]{x^4\cdot\sqrt{a}}}{x - \sqrt{a}} \Biggr)^{3} \]
   
   Решение: Введем замену: $u = \sqrt[6]{a}$, $v = \sqrt[3]{x}$. Тогда $\sqrt{a} = u^3$, $\sqrt[3]{x} = v$, $\sqrt[3]{x\cdot a^2} = x^{1/3}a^{2/3} = vu^4$, $\sqrt[3]{x^4\cdot\sqrt{a}} = x^{4/3}a^{1/6} = v^4u$. Преобразуем выражение:
   
   1. Первая дробь: \[ \frac{v^6 + u^6}{v + u} = v^5 - v^4u + v^3u^2 - v^2u^3 + vu^4 - u^5 \]
   
   2. Вторая дробь: \[ \frac{v^6 - u^6}{v - u} = v^5 + v^4u + v^3u^2 + v^2u^3 + vu^4 + u^5 \]
   
   3. Третья дробь: \[ \frac{vu^4 - v^4u}{v^6 - u^6} = \frac{vu(u^3 - v^3)}{(v - u)(v^2 + v u + u^2)(v^3 + u^3)} = -\frac{vu}{(v + u)(v^2 + u^2)} \]
   
   После объединения всех компонентов выражение упрощается до $u + v = \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{a}$. В исходной задаче это выражение возводится в куб: $(\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{a})^3 = x + 3\sqrt[6]{a^5 x} + 3\sqrt[3]{a x^4} + a^{1/2}$.
   
   Ответ: $\boxed{(x + \sqrt{a})^3}$
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{25x^4 - 10x^2 + 1} + \bigl|5x^2 - 2\bigr| = 10x^2 - 3 \]
   
   Решение: Заметим, что $25x^4 - 10x^2 + 1 = (5x^2 - 1)^2$, поэтому уравнение принимает вид: \[ |5x^2 - 1| + |5x^2 - 2| = 10x^2 - 3 \] Рассмотрим случаи: 1. При $5x^2 1/5$. 2. При $1 \leq 5x^2 < 2$: \[ 5x^2 - 1 + 2 - 5x^2 = 10x^2 - 3 \Rightarrow 10x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} \] Проверка: $5(\frac{2}{5}) = 2$ — граница интервала, не подходит. 3. При $5x^2 \geq 2$: \[ 5x^2 - 1 + 5x^2 - 2 = 10x^2 - 3 \Rightarrow 0 = 0 \] Решения: $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{2}{5}}] \cup [\sqrt{\frac{2}{5}}, +\infty)$ Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{0.4}] \cup [\sqrt{0.4}, +\infty)$.
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert 2x + 5\rvert}{x^2 - 14x + 24} \;\ge\; \frac{\lvert 2x + 5\rvert}{3x^2 - 8x + 4} \] Решение: При $2x + 5 \neq 0$ можно сократить модули. Получим: \[ \frac{1}{(x-2)(x-12)} \geq \frac{1}{(3x-2)(x-2)} \] Перенесем все влево: \[ \frac{1}{(x-2)(x-12)} - \frac{1}{(3x-2)(x-2)} \geq 0 \Rightarrow \frac{3x - 2 - x + 12}{(x-2)(x-12)(3x-2)} \geq 0 \] Упростим числитель: $2x + 10$. Получим неравенство: \[ \frac{2(x + 5)}{(x - 2)(x - 12)(3x - 2)} \geq 0 \] Метод интервалов дает решение: $x \in (-\infty, -5] \cup (\frac{2}{3}, 2) \cup (12, +\infty)$. Учтя $2x + 5 = 0$, $x = -\frac{5}{2}$ не подходит. Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (\frac{2}{3}, 2) \cup (12, +\infty)$.
   
   
4. Найдите множество корней уравнения: \[ \frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{7}{2}, \quad |x| < 1 \] Решение: Сумма ряда: $\frac{1}{x} + \frac{x}{1 - x} = \frac{7}{2}$. Умножим на $x(1 - x)$: \[ (1 - x) + x^2 = \frac{7}{2}x(1 - x) \Rightarrow 1 - x + x^2 = \frac{7}{2}x - \frac{7}{2}x^2 \] Умножим на 2: \[ 2 - 2x + 2x^2 = 7x - 7x^2 \Rightarrow 9x^2 - 9x + 2 = 0 \] Корни: $x = \frac{9 \pm 3}{18} = \frac{2}{3}, \frac{1}{3}$. При $|x| < 1$ оба подходят. Ответ: $x = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$.
   
   
5. Найдите все значения параметра $a$: \[ x^2 - 2(3a + 1)x + 8a^2 + 10a - 3 = 0 \] Решение: Пусть корни $x_1 = 2x_2$. По Виету: \[ x_1 + x_2 = 2(3a + 1) \Rightarrow 3x_2 = 6a + 2 \Rightarrow x_2 = 2a + \frac{2}{3} \] Произведение: \[ x_1x_2 = 8a^2 + 10a - 3 \Rightarrow 2x_2^2 = 8a^2 + 10a - 3 \] Подставляем $x_2$: \[ 2(4a^2 + \frac{8a}{3} + \frac{4}{9}) = 8a^2 + 10a - 3 \Rightarrow \frac{16a}{3} + \frac{8}{9} = 10a - 3 \] Умножаем на 9: \[ 48a + 8 = 90a - 27 \Rightarrow 42a = 35 \Rightarrow a = \frac{5}{6} \] Ответ: $a = \frac{5}{6}$.
   
   
6. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABD$: Решение: Пусть $\angle ABD = 57^\circ$, $\angle CBD = 45^\circ$, $\angle ADC = 78^\circ$. В четырехугольнике $ABCD$ сумма углов 360°, учитывая дополнительные углы, найдем угол $A = 180° - 78° = 102°$. По теореме синусов для $\triangle ABD$: \[ 2R = \frac{BD}{\sin 102^\circ} \] Из $\triangle BCD$: \[ \frac{BD}{\sin 78^\circ} = \frac{DC}{\sin 45^\circ} \Rightarrow BD = \frac{5 \cdot \sin 78^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 6.8 \text{ см} \] Тогда $R = \frac{6.8}{2 \cdot \sin 102^\circ} \approx 3.5 \text{ см}$. Ответ: $R \approx 3.5$ см.
   
   
7. Найдите площадь треугольника $ABE$ в параллелограмме: Решение: Биссектриса угла A делит BC в отношении AB:AD = 10:10 = 1:1, значит E — середина BC. Тогда $BE = 5$. Высота треугольника ABE: $h = AB \cdot \sin \theta = 10 \cdot 0.8 = 8$. Площадь: \[ S = \frac{1}{2} BE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20 \] Ответ: $20$.
   
   
8. Докажите $AD = BD$: Доказательство: По свойству биссектрисы внешнего угла: $\angle DCA = 90^\circ - \frac{C}{2}$. Дуга AD равна дуге BD, так как центральные углы, опирающиеся на них, равны. Следовательно, $AD = BD$.
   
   
9. Найдите площадь фигуры: \[ \begin{cases} (x-1)^2 + (\lvert y\rvert - 1)^2 \le 1,\\ \lvert y\rvert \ge \lvert x - 2\rvert \end{cases} \] Решение: Первое неравенство — два круга радиусом 1 с центрами в (1,1) и (1,-1). Второе — области выше $y = |x-2|$ и ниже $y = -|x-2|$. Пересечение дает четыре сегмента. Площадь каждого сегмента: $S = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$. Суммарная площадь: $2\pi - 4$. Ответ: $2\pi - 4$.
   
   
10. Количество способов разделить детей: Решение: Общее число способов: $\frac{1}{2} \binom{20}{10}$. Вычитаем способы, где в одной группе менее 4 девочек. Если в группе 3 девочки: $\binom{10}{3}\binom{10}{7}$. Если 2: $\binom{10}{2}\binom{10}{8}$ и т.д. По формуле включения-исключения: \[ N = \frac{1}{2}\left( \binom{20}{10} - 2\binom{10}{3}\binom{10}{7} - 2\binom{10}{2}\binom{10}{8} - 2\binom{10}{1}\binom{10}{9} - 2\binom{10}{0}\binom{10}{10} \right) \] Ответ: $\boxed{\binom{20}{10} - 2\sum_{k=0}^3 \binom{10}{k}\binom{10}{10 - k}}$.