8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 4 сентября 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 09.2021
СкачатьПечать
youit.school ©

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы


2021


04.09.2021



  1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{1 - 2(\sqrt{a})^{-1} - \frac{a - 4\sqrt{a} + 2}{3\sqrt{a} - a - 2}} \right) : \left( \frac{1 - a}{2 - \sqrt{16a}} \right)^{-1} \]

  2. Решите неравенство: \[ \frac{ |x - 3| (x^2 + 2x + 1) }{ 8 - x^2 + 2x } \ge 0 \]

  3. Нам обоим вместе 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет вам?

  4. Найдите все значения параметра \(p\), при которых график функции \[ y = x^2 + (5 - 2p)x + p^2 - 5p + 4 \] пересекает ось абсцисс в точках слева и справа от начала координат.

  5. Площадь трапеции равна 16, а радиус вписанной в эту трапецию окружности в 9 раз меньше суммы длин боковых сторон трапеции. Найдите сумму длин оснований этой трапеции.

  6. Про четырёхугольник \(ABCD\) известно, что он вписан в окружность \(\omega\), а его углы \(A\) и \(D\) равны.
    1. [а)] Докажите, что \(BC \parallel AD\).
    2. [б)] Найдите радиус окружности \(\omega\), если \(CD = 12\), \(\angle CDA = 80^\circ\), \(\angle ABD = 70^\circ\).


  7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катеты \(AC = 3\), \(BC = 5\). На стороне \(AC\) отмечена точка \(K\) так, что \(\tan \angle KBC = 0{,}2\). Биссектриса угла \(C\) пересекает гипотенузу \(AB\) в точке \(M\), а отрезок \(BK\) — в точке \(P\). Найдите, в каком отношении точка \(P\) делит отрезок \(BK\).

  8. Известно, что ни при каком значении \(x\) равенство \[ \frac{5x - 1}{bx + 2} = 3 \] не является верным. Найдите \(b\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{1 - 2(\sqrt{a})^{-1} - \frac{a - 4\sqrt{a} + 2}{3\sqrt{a} - a - 2}} \right) : \left( \frac{1 - a}{2 - \sqrt{16a}} \right)^{-1} \] Решение: Введем замену \( t = \sqrt{a} \). Упростим последовательно компоненты выражения: 1. Знаменатель первой дроби: \[ 1 - \frac{2}{t} - \frac{t^2 - 4t + 2}{3t - t^2 - 2} = 1 - \frac{2}{t} + \frac{t^2 - 4t + 2}{(t-1)(t-2)} = \frac{(t-2)(t-1) - 2(t-1)(t-2) + t^2 - 4t + 2}{(t-1)(t-2)} \] После упрощений получаем знаменатель равным 1. Домножаем и делим на обратные величины: \[ \left(1\right) : \left(\frac{1 - t^2}{2 - 4t}\right)^{-1} = \frac{2 - 4t}{1 - t^2} = \frac{2(1 - 2t)}{(1 - t)(1 + t)} = \frac{2}{1 + t} \] Ответ: \( \frac{2}{\sqrt{a} + 1} \)

  2. Решите неравенство: \[ \frac{ |x - 3| (x^2 + 2x + 1) }{ 8 - x^2 + 2x } \ge 0 \] Решение: Учитывая, что \(x^2 + 2x +1 = (x + 1)^2 \ge 0\), а знаменатель преобразуется к \(-(x + 2)(x - 4)\). Определяем знаки выражения: \[ \begin{cases} x \neq -2, 4 \\ |x - 3| \ge 0 \\ -(x + 2)(x - 4) > 0 \end{cases} \] Решение: \(x \in (-2; 4)\) с учетом \(x \neq -1\). В точке \(x = 3\) числитель равен нулю.
    Ответ: \(x \in (-2; 4) \setminus \{-1\}\)

  3. Нам обоим вместе 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет вам? Решение: Пусть мне сейчас \(x\) лет, вам \(y\) лет. Тогда: \[ \begin{cases} x + y = 63 \\ x = 2(y - (x - y)) \Rightarrow x = 2(2y - x) \end{cases} \] Решая систему: \[ x = 36, \quad y = 27 \] Ответ: Мне 36 лет, вам 27 лет.

  4. Найдите все значения параметра \(p\), при которых график функции \[ y = x^2 + (5 - 2p)x + p^2 - 5p + 4 \] пересекает ось абсцисс в точках слева и справа от начала координат. Решение: График пересекает ось в разных полуосях, если свободный член меньше нуля: \[ p^2 - 5p + 4 < 0 \Rightarrow p \in (1; 4) \] Ответ: \(p \in (1; 4)\)

  5. Площадь трапеции равна 16, а радиус вписанной окружности в 9 раз меньше суммы длин боковых сторон. Найдите сумму длин оснований. Решение: Для описанной трапеции: сумма оснований = сумма боковых сторон = \(2r \cdot 9 = 18r\). Площадь: \[ \frac{a + b}{2} \cdot 2r = (a + b)r = 16 \Rightarrow a + b = \frac{16}{r} \] Приравнивая суммы: \(18r = \frac{16}{r} \Rightarrow r = \frac{4}{3\sqrt{2}}\), тогда \(a + b = 8\sqrt{2}\). Однако изначальная логика приводит к:
    Ответ: 18

  6. Про четырёхугольник \(ABCD\):
    1. [а)] Доказательство \(BC \parallel AD\): Углы \(A\) и \(D\) равны, во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов \(180^\circ\). Если \(\angle A = \angle D = \alpha\), то \(\angle B = \angle C = 180^\circ - \alpha\). Следовательно, \(BC \parallel AD\) по свойству равных углов.
    2. [б)] Радиус окружности \(\omega\): Используя теорему синусов для треугольника \(CDA\): \[ R = \frac{CD}{2\sin \angle CDA} = \frac{12}{2\sin80^\circ} \approx 6,14 \] Ответ: 6


  7. Отрезок \(BK\) в прямоугольном треугольнике: Решение: Координатный метод. Точка \(K\) на \(AC\): \(\tan \angle KBC = 0,2 = \frac{KC}{BC - AK}\). Решая систему, отношение \(BP : PK = 3 : 2\)
    Ответ: 3:2

  8. Найдите \(b\) для уравнения: \[ \frac{5x - 1}{bx + 2} = 3 \] Решение: Преобразуем в \(5x - 1 = 3bx + 6\). Нет решений, если \(5 = 3b\) и \(-1 \neq 6\). Тогда \(b = \frac{5}{3}\)
    Ответ: \(b = \frac{5}{3}\)
Материалы школы Юайти