«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 23 сентября 2022 год

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы

2022

23.04.2022

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна 35, а сумма первых пяти членов в 49 раз больше суммы их обратных величин.
   
   
2. Сколькими нулями оканчивается число \( |20! - 22!| \) ?
   
   
3. Решите неравенство: \[ |(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)| \le 24 \]
   
   
4. Найдите площадь фигуры, состоящей из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ x^2 + y^2 \le 2|x| + 2|y| \]
   
   
5. При каких действительных значениях параметра \(a\) корни уравнения \(x^2 + ax + 1 = 0\) таковы, что \(x_1^4 + x_2^4 > 1\)?
   
   
6. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а основания равны 12 и 20. Найдите радиус описанной окружности.

Решения задач

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна 35, а сумма первых пяти членов в 49 раз больше суммы их обратных величин.
   Решение: Пусть первый член прогрессии \( b_1 \), знаменатель \( q \). Из условия задачи: \[ b_1 + b_1 q^2 = 35 \Rightarrow b_1(1 + q^2) = 35 \quad (1) \] Сумма первых пяти членов: \[ S_5 = b_1 \frac{q^5 - 1}{q - 1} \] Сумма обратных величин: \[ S'_5 = \frac{1}{b_1} \frac{q^4 + q^3 + q^2 + q + 1}{q^5} \] Из условия \( S_5 = 49 S'_5 \): \[ b_1 \frac{q^5 - 1}{q - 1} = 49 \cdot \frac{1}{b_1} \cdot \frac{q^5 - 1}{q^4(q - 1)} \quad \Rightarrow b_1^2 q^4 = 49 \quad \Rightarrow b_1 q^2 = 7 \] Подставляем \( b_1 = \frac{7}{q^2} \) в уравнение (1): \[ \frac{7}{q^2}(1 + q^2) = 35 \quad \Rightarrow \frac{7(1 + q^2)}{q^2} = 35 \quad \Rightarrow q^2 = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow q = \frac{1}{2} \] Тогда \( b_1 = \frac{7}{(\frac{1}{2})^2} = 28 \).
   Ответ: \( b_1 = 28 \), \( q = \frac{1}{2} \).
   
   
2. Сколькими нулями оканчивается число \( |20! - 22!| \) ?
   Решение: Число 20! имеет количество нулей на конце, равное количеству множителей 5 в его разложении: \(\left[\frac{20}{5}\right] + \left[\frac{20}{25}\right] = 4\). Для \(22!\) аналогично: \(\left[\frac{22}{5}\right] + \left[\frac{22}{25}\right] = 4 + 0 = 4\). Таким образом, \( |20! - 22!| = 20! \cdot |1 - 22 \cdot 21| = 20! \cdot 461 \). Количество нулей на конце равно количеству множителей 10 в \(20!\), то есть 4.
   Ответ: 4.
   
   
3. Решите неравенство: \[ |(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)| \le 24 \] Решение: Произведение \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) представим в виде \((x^2 -5x +4)(x^2 -5x +6)\). Обозначим \( t = x^2 -5x \). Тогда неравенство примет вид: \[ |(t +4)(t +6)| \le 24 \quad \Rightarrow |t^2 +10t +24| \le 24 \] Решением является интервал \( t \in [-10, 0] \), что соответствует: \[ x^2 -5x \in [0,5] \quad \Rightarrow x \in [0,5] \] Ответ: \( x \in [0,5] \).
   
   
4. Найдите площадь фигуры, состоящей из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ x^2 + y^2 \le 2|x| + 2|y| \] Решение: Перепишем неравенство в виде: \[ (|x| -1)^2 + (|y| -1)^2 \le 2 \] Это уравнение описывает объединение четырёх кругов радиусом \(\sqrt{2}\) с центрами в точках \((1,1)\), \((-1,1)\), \((-1,-1)\), \((1,-1)\). Площадь одного круга: \[ \sqrt{2}^2 \pi = 2\pi \] Суммарная площадь четырёх квартантов: \[ 4 \times \frac{2\pi}{4} = 2\pi \] Учитывая перекрытия, площадь четырех кругов в полярных координатах: \[ 4\pi + 8 \] Ответ: \(4\pi + 8\).
   
   
5. При каких действительных значениях параметра \(a\) корни уравнения \(x^2 + ax + 1 = 0\) таковы, что \(x_1^4 + x_2^4 > 1\)?
   Решение: Дискриминант уравнения: \(a^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow |a| \ge 2\). По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -a, \quad x_1 x_2 = 1 \] Выразим \(x_1^4 + x_2^4\) через \(a\): \[ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2 = \left(a^2 - 2\right)^2 - 2 = a^4 - 4a^2 + 2 \] Решаем неравенство: \[ a^4 - 4a^2 + 2 > 1 \quad \Rightarrow a^4 - 4a^2 + 1 > 0 \] Корни уравнения \(a^4 -4a^2 +1 =0\): \[ a = \pm\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} \] Решение исходное: \[ |a| \ge 2 \] Ответ: \(a \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\).
   
   
6. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а основания равны 12 и 20. Найдите радиус описанной окружности.
   Решение: Основания трапеции \(AB = 20\), \(CD = 12\). Диагонали пересекаются под прямым углом в точке \(O(0,10)\). Координаты вершин \(A(-10, 0)\), \(B(10, 0)\), \(C(6,16)\), \(D(-6,16)\). Центр окружности находится в точке \((0, \frac{73}{8})\); радиус: \[ R = \sqrt{0^2 + \left(\frac{73}{8}\right)^2 - (-100)} = \frac{73}{8} \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{73}{8}}\).