«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2023 год

1. Вычислите \[ \bigl(\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}}\;\cdot\;\sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt{18}}\bigr)\;:\;(\sqrt{2} - 1). \]
2. Упростите выражение \[ \bigl(a - a^{-1} : (a^{2}-1)\bigr)\;\cdot\;a - 1. \]
3. Решите уравнение \[ (x^2 - 2x + 1)^{\tfrac{1}{5}} \;=\; (x^2 - 2x - 8)^{\tfrac{5}{2}}. \]
4. Решите неравенство \[ \frac{6x - x^2 - 5}{8 - x^2 - 7x} \;\ge\; 1. \]
5. В арифметической прогрессии \(a_5 + a_9 = 6\). Найдите сумму первых 13 членов этой прогрессии.
6. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ x - 2\sqrt{x} + a = 0 \] имеет единственное решение?
7. Медианы треугольника \(ABC\), проведённые из вершин \(B\) и \(C\), пересекаются под прямым углом. Найдите \(BC\), если длина медианы треугольника, проведённой из вершины \(A\), равна 36.
8. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найдите стороны исходного треугольника.
9. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании, равным \(30^\circ\), если высота, проведённая к боковой стороне, равна \(2\sqrt{3}\).
10. В урне 12 шаров: 8 белых и 4 чёрных. Вынули три шара. Какова вероятность того, что из урны вынули только 3 белых шара?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}}\;\cdot\;\sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt{18}}\bigr)\;:\;(\sqrt{2} - 1). \] Решение: Заметим, что выражение содержит ошибку в условии, так как выражение под шестым корнем отрицательно:
   $9 -9\sqrt{2} < 0$, поэтому задача в действительности не имеет решений в действительных числах.
   Ответ: Ошибка в условии задачи.
2. Упростите выражение: \[ \bigl(a - a^{-1} : (a^{2}-1)\bigr)\;\cdot\;a - 1. \] Решение:
   $\left(a - \frac{a^{-1}}{a^2 -1}\right) \cdot a -1 = a\cdot a - \frac{a}{a(a^2 -1)} -1 = a^2 - \frac{1}{a^2 -1} -1 = \frac{a^4 -2a^2}{(a -1)(a +1)}$
   Ответ: $\dfrac{a²(a² -2)}{(a -1)(a +1)}$.
3. Решите уравнение: \[ (x^2 - 2x + 1)^{\tfrac{1}{5}} = (x^2 - 2x - 8)^{\tfrac{5}{2}}. \] Решение: Только для $x \le -2$ или $x \ge 4$ правая стор определена. Возведя обе части в степень $10$, получим уравнение $(x -1)^4 = (x² -2x -8)^{25}$. Проверка возможных значений показывает отсутствие решений.
   Ответ: Нет действительных решений.
4. Решите неравенство: \[ \frac{6x - x^2 - 5}{8 - x^2 - 7x} \;\ge\; 1. \] Решение: После упрощения получаем $\dfrac{-13}{x + 8} \ge 0$. Решение: $x < -8$.
   Ответ: $x \in (-\infty; -8)$.
5. В арифметической прогрессии \(a_5 + a_9 = 6\). Найдите сумму первых 13 членов этой прогрессии.
   Решение:
   $a_5 + a_9 = 2a_1 + 12d = 6$
   Сумма первых 13 членов: $S_{13} = \frac{13}{2}(2a_1 + 12d) = 13 \cdot 3 = 39$
   Ответ: 39.
6. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ x - 2\sqrt{x} + a = 0 \] имеет единственное решение?
   Решение: Замена $t = \sqrt{x}$, приводит к уравнению $t^2 - 2t + a = 0$.
   Дискриминант для одного решения: $D=0$ ($a=1$) или одно решение неотрицательно (a ≤ 1). Проверка:
   Ответ: $a = 1$ или $a < 0$.
   Ответ: $a = 1$ или $a < 0$.
7. Медианы треугольника \(ABC\), проведённой из вершин \(B\) и \(C\), пересекаются под прямым углом. Найдите \(BC\), если медиана из \(A\) равна 36.
   Решение:
   Используйте соотношение между длинами медиан при их перпендикулярности.
   Ответ: $BC = 24$.
8. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найдите стороны треугольника.
   Решение:
   Пусть катеты $a,b$, гипотенуза $c$. Тогда:
   $r = \frac{a + b - c}{2} = 2$,
   $R = \frac{c}{2} = 5 \Rightarrow c = 10$,
   $\frac{a + b -10}{2}=2$ ⇒ $a +b=14$. Решаем систему $a^2 +b^2=100$, $a +b=14$.
   Ответ: 6, 8, 10.
9. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30°, если высота равна \(2\sqrt{3\).}
   Решение:
   Пусть высота к стороне $a$. Из соотношений в треугольнике с углом 30°:
   $\sin 30° = \frac{высота}{a} \Rightarrow a = 4\sqrt{3}$.
   Радиус окружности: $R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \frac{1}{2}} = 4\sqrt{3}$.
   Ответ: $4\sqrt{3}$.
10. В урне 12 шаров: 8 белых и 4 чёрных. Вынули три шара. Какова вероятность того, что все три белые?
    Решение:
    Вероятность: $\frac{C_8^3}{C_{12}^3} = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$.
    Ответ: $\frac{14}{55}$.