«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2022 год

1. Сумма трёх чисел равна $\tfrac{11}{18}$, а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найдите эти числа.
2. Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству \[ \max(x; x^2) + \min(y; y^2) = 1. \] Функции \(\max\) и \(\min\) обозначают функции выбора наибольшего и наименьшего из своих аргументов.
3. Решите неравенство \[ \bigl|\,|x^2 – 8x + 2| – x^2\bigr| \ge 2x + 2. \]
4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2 + a x + 1 = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \[ \Bigl(\frac{x_1}{x_2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{x_2}{x_1}\Bigr)^{2} < 7? \]
5. Найдите количество таких нечётных шестизначных чисел, что каждая последующая цифра в записи слева направо больше предыдущей.
6. Выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\) и пересекается с диагональю \(BD\) в точке \(K\). Найдите длину отрезка \(KC\), если известно, что \(\lvert AK\rvert=6\), \(\lvert BC\rvert=4\).

Решения задач

1. Сумма трёх чисел равна $\tfrac{11}{18}$, а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найдите эти числа.
   Решение: Пусть числа $a$, $b$, $c$. По условию $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ образуют арифметическую прогрессию, значит $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$. Сумма чисел: $a + b + c = \frac{11}{18}$, сумма обратных: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 18$.
   Обозначим $\frac{1}{a} = x$, $\frac{1}{b} = y$, $\frac{1}{c} = z$. Тогда $x + y + z = 18$ и $2y = x + z$. Отсюда $3y = 18 \Rightarrow y = 6$. Тогда $x + z = 12$.
   Выразим исходные числа: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{6}$, $c = \frac{1}{z}$. Сумма: $\frac{1}{x} + \frac{1}{6} + \frac{1}{z} = \frac{11}{18}$. Учитывая $x + z = 12$, получим $\frac{x + z}{xz} + \frac{1}{6} = \frac{12}{xz} + \frac{1}{6} = \frac{11}{18}$. Отсюда $xz = 27$. Корни уравнения $t^2 -12t + 27 = 0$: $t = 9$, $t = 3$. Искомые числа: $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{3}$.
   
   
2. Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству \[ \max(x; x^2) + \min(y; y^2) = 1. \] Решение: Рассмотрим разные области значений $x$ и $y$:
   • $x \geq x^2$ ($0 \leq x \leq 1$). Тогда $\max(x, x^2) = x$.
     • $y \leq y^2$ ($y \leq 0$ или $y \geq 1$). Тогда $\min(y, y^2) = y$: $x + y = 1$.
     • $y > y^2$ ($0 < y < 1$). Тогда $\min(y, y^2) = y^2$: $x + y^2 = 1$.
   • $x < x^2$ ($x 1$). Тогда $\max(x, x^2) = x^2$.
     • $y \leq y^2$ ($y \leq 0$ или $y \geq 1$). Тогда $\min(y, y^2) = y$: $x^2 + y = 1$.
     • $y > y^2$ ($0 < y < 1$). Тогда $\min(y, y^2) = y^2$: $x^2 + y^2 = 1$.
   
   Ответ: Объединение графиков: прямая $x+y=1$ (при $x \in [0,1]$, $y \leq 0$ или $y \geq 1$), парабола $x^2 + y = 1$ (при $x \leq -1$ или $x \geq1$, $y \leq 0$), окружность $x^2 + y^2 = 1$ (при $x \leq0$, $0 < y < 1$).
   
   
3. Решите неравенство \[ \bigl|\,|x^2 – 8x + 2| – x^2\bigr| \ge 2x + 2. \] Решение: Рассмотрим два случая для внутреннего модуля:
   1. $x^2 – 8x + 2 \geq 0$ (корни $x = 4 \pm \sqrt{14}$). Неравенство принимает вид $| -8x + 2 | \geq 2x + 2$.
      • $-8x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \leq 0.25$. Тогда $-8x +2 \geq 2x +2 \Rightarrow x \leq0$. Итог: $x \leq0$.
      • $-8x +2 0.25$. Тогда $8x -2 \geq2x +2 \Rightarrow x\geq\frac{2}{3}$. Учитывая $x>4+\sqrt{14} \approx7.87$, итог: $x\geq4+\sqrt{14}$.
   2. $x^2 –8x +2 <0$ ($4 - \sqrt{14} <x <4+\sqrt{14}$). Неравенство принимает вид $| -2x^2 +8x -2| \geq2x +2$. Рассматривая интервалы изменения выражения $-2x^2 +8x -2$:
      • $2x^2 -8x +2 \geq0 \Rightarrow x\in[2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]$. Тогда $-2x^2 +8x -2 \geq2x +2 \Rightarrow x\in[1,2]$.
      • $2x^2 -8x +2 <0 \Rightarrow x\in(-\infty,2-\sqrt{3}) \cup(2+\sqrt{3},+\infty)$. Тогда $-(-2x^2 +8x -2) \geq2x +2 \Rightarrow x\geq5$.
   Объединяя решения: $x \in (-\infty,0] \cup [1,2] \cup [5,+\infty)$.
   Ответ: $x \in (-\infty,0] \cup [1,2] \cup [5,+\infty)$.
   
   
4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2 + a x + 1 = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \[ \Bigl(\frac{x_1}{x_2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{x_2}{x_1}\Bigr)^{2} < 7? \] Решение: Преобразуем выражение: $\left(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\right)^2 - 2 <7 \Rightarrow \left(\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}\right)^2 -2 <7$. Используя теорему Виета: $x_1x_2=1$, $x_1+x_2=-a$, тогда $x_1^2 +x_2^2 =a^2-2$. Получаем $(a^2-2)^2 -2 <7 \Rightarrow a^4 -4a^2 -5 <0 \Rightarrow (a^2-5)(a^2+1) <0$. Решение: $|a| <\sqrt{5}$. Учитывая действительные корни: $|a|\geq2$. Ответ: $a \in (-√5, -2] \cup [2, √5)$.
   Ответ: $a \in (-\sqrt{5}, -2] \cup [2, \sqrt{5})$.
   
   
5. Найдите количество таких нечётных шестизначных чисел, что каждая последующая цифра в записи слева направо больше предыдущей.
   Решение: Последняя цифра — 5,7,9 (чтобы число было нечётным). Для каждого $k$ (5,7,9) количество сочетаний из цифр <$k$ выбранных пятью с добавлением $k$: $C(4,5)=0$ для $k=5$, $C(6,5)=6$ для $k=7$, $C(8,5)=56$ для $k=9$. Итого: $6 +56=62$.
   Ответ: 62.
   
   
6. Найдите длину отрезка \(KC\), если известно, что \(|AK|=6\), \(|BC|=4\).
   Решение: Используем теорему о секущих для вписанного четырёхугольника: $|AK| \cdot |KC| = |BK| \cdot |KD|$. По свойству биссектрисы: $\frac{BK}{KD} = \frac{AB}{AD}$. По теореме Птолемея: $AB \cdot CD = BC \cdot AD$. Пусть $KC =x$, тогда $\frac{6}{x} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{4}$. Из Птолемея: $AB \cdot CD =4 \cdot AD$, объединяя уравнения получаем $x=4$.
   Ответ: 4.