«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2022 год

1. Все члены возрастающей геометрической прогрессии положительны, сумма первых трёх её членов равна 169, а сумма их обратных величин равна $\tfrac{1}{9}$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
2. Решите неравенство \[ \bigl|\,x^2 - |x| - 4\bigr| \le 2. \]
3. Изобразите на координатной плоскости кривую, заданную уравнением \[ x^2 + y^2 = \min\bigl(2x + 2y;\;2\bigr), \] и вычислите её длину.
   Функция \(\min\) обозначает функцию выбора наименьшего из своих аргументов.
4. Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна \(2R\). На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно \(7:21:27\) (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.
5. Остаток от деления некоторого натурального числа на 14 равен 1, а остаток от деления на 35 равен 22. Найдите остаток от деления этого числа на 70.
6. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - a x + a = 0. \] При каком \(a\) выражение \(x_1^2 + x_2^2\) принимает наименьшее значение?

Решения задач

1. Все члены возрастающей геометрической прогрессии положительны, сумма первых трёх её членов равна 169, а сумма их обратных величин равна $\tfrac{1}{9}$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть члены прогрессии: $b$, $bq$, $bq^2$. Тогда: \[ \begin{cases} b(1 + q + q^2) = 169 \\ \frac{1}{b}\left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2}\right) = \frac{1}{9} \end{cases} \] Разделив первое уравнение на второе: \[ b^2 \cdot \frac{q^4 + q^3 + q^2}{q^2 + q + 1} = 169 \cdot 9 \] Упростив: \[ b^2 q^2 = 1521 \quad \Rightarrow bq = 39 \] Подставляя $b = \frac{39}{q}$ в первое уравнение: \[ \frac{39}{q}(1 + q + q^2) = 169 \quad \Rightarrow q^2 + q + 1 = \frac{169q}{39} \] Решая квадратное уравнение: \[ 3q^2 - 10q + 3 = 0 \quad \Rightarrow q = 3 \quad (q > 1) \] Тогда $b = \frac{39}{3} = 13$.
   Ответ: Первый член 13, знаменатель 3.
2. Решите неравенство \[ \bigl|\,x^2 - |x| - 4\bigr| \le 2. \]
   Решение: Рассмотрим случаи для $x \geq 0$ и $x < 0$:
   • При $x \geq 0$: $\left|\,x^2 - x - 4\right| \leq 2$
     $-2 \leq x^2 - x - 4 \leq 2$
     Левая часть: $x^2 - x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \in [2, +\infty)$
     Правая часть: $x^2 - x - 6 \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 3]$
     Пересечение: $x \in [2, 3]$
   • При $x < 0$: $\left|\,x^2 + x - 4\right| \leq 2$
     $-2 \leq x^2 + x - 4 \leq 2$
     Левая часть: $x^2 + x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2$
     Правая часть: $x^2 + x - 6 \leq 0 \Rightarrow x \in [-3, 2]$
     Пересечение: $x \in [-3, -2]$
   Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.
3. Изобразите на координатной плоскости кривую, заданную уравнением \[ x^2 + y^2 = \min\bigl(2x + 2y;\;2\bigr), \] и вычислите её длину.
   Решение: Разобьем плоскость на области относительно прямой $2x + 2y = 2$:
   • При $2x + 2y \leq 2$ уравнение имеет вид: \[ x^2 + y^2 = 2x + 2y \quad \Rightarrow \quad (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2 \] Окружность радиусом $\sqrt{2}$ с центром $(1,1)$ действует для точек ниже прямой $x + y = 1$.
   • При $2x + 2y > 2$ уравнение имеет вид: \[ x^2 + y^2 = 2 \] Окружность радиусом $\sqrt{2}$ с центром в начале координат действует для точек выше прямой $x + y = 1$. Точки пересечения находятся из системы: \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \] Решением являются точки $(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1-\sqrt{3}}{2})$ и $(\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{1+\sqrt{3}}{2})$.
   Длина кривой равна сумме длин дуг обеих окружностей между точками пересечения, что составляет четверть каждой окружности: \[ L = 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot 2\pi\sqrt{2}\right) = \pi\sqrt{2} \] Ответ: Длина кривой $\pi\sqrt{2}$.
4. Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна \(2R\). На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно \(7:21:27\) (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.
   Решение: Пусть высота трапеции $AB = 2R$. Окружность делит боковую сторону $CD$ на отрезки $7k$, $21k$, $27k$. Рассмотрим треугольники, образованные высотой и проекциями боковой стороны. Используя подобие треугольников и теорему Пифагора, находим длины оснований. Площадь трапеции: \[ S = \frac{(AD + BC)}{2} \cdot AB = \frac{(7k \cos \alpha + 27k \cos \alpha)}{2} \cdot 2R = 34k\cos\alpha \cdot R \] При этом $k = R$, поэтому: \[ S = 34R^2 \] Ответ: Площадь трапеции $34R^2$.
5. Остаток от деления некоторого натурального числа на 14 равен 1, а остаток от деления на 35 равен 22. Найдите остаток от деления этого числа на 70.
   Решение: Система сравнений: \[ \begin{cases} N \equiv 1 \pmod{14} \\ N \equiv 22 \pmod{35} \end{cases} \] Представим $N = 35m + 22$. Подставляем в первое сравнение: \[ 35m + 22 \equiv 1 \pmod{14} \quad \Rightarrow \quad 7m \equiv -21 \pmod{14} \quad \Rightarrow \quad m \equiv 1 \pmod{2} \] Тогда $m = 2k + 1$ и: \[ N = 35(2k + 1) + 22 = 70k + 57 \] Остаток при делении на 70 равен 57.
   Ответ: 57.
6. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - a x + a = 0. \] При каком \(a\) выражение \(x_1^2 + x_2^2\) принимает наименьшее значение?
   Решение: Используя теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = a, \quad x_1 x_2 = a \] Выражение: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = a^2 - 2a \] Минимум квадратичной функции достигается при $a = 1$. Проверим дискриминант уравнения: \[ D = a^2 - 4a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \leq 0 \text{ или } a \geq 4 \] Подставим допустимые значения:
   • При $a = 0$: $0^2 - 2 \cdot 0 = 0$
   • При $a = 4$: $16 - 8 = 8$
   Наименьшее значение достигается при $a = 0$.
   Ответ: $a = 0$.