«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2018 год. Демоверсия

1. Решить уравнение: \[ (x+1)\,\sqrt{1+4x - x^2} \;=\; x^2 - 1. \]
2. Упростить выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+\sqrt{x\,y}} +\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-\sqrt{x\,y}}\Bigr) \;\cdot\; \frac{\sqrt{x^3}\,\sqrt{y}}{x+y}. \]
3. Постройте график функции \[ f(x)=x^2-2|x-2|-1 \] и укажите её множество значений.
4. Задача на А.П. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся на 7 и имеющих последней цифрой 3.
5. Сплавлено 40г золота одной пробы и 60г золота другой пробы и получено золото 62‑й пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61‑й пробы?
6. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ a x^2 + (4a+2)x + 3a + 1{,}5 = 0 \] имеет единственный положительный корень.
7. При каких \(a\) множество решений неравенства \[ (a+2)x^2 - (a-1)x + a - 1 \ge 0 \] является отрезком?
8. В равнобедренном треугольнике \(\cos\) угла при вершине равен \(\tfrac{2}{3}\). Найти \(\sin\) и \(\cos\) угла при основании.
9. Диагональ равнобедренной трапеции делит её тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.
10. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания описанной окружности со сторонами данного треугольника.
11. Задачи с параметром:
    1. Найдите все значения \(k\), при которых при всех \(x\) выполняется неравенство \[ x^2 - (2+k)x + 4 > 0. \]
    2. Найдите все значения \(k\), при которых при всех \(x\) выполняется неравенство \[ \frac{x^2 - 8x + 20}{k x^2 + 2(k+1)x + 9k + 4} < 0. \]
    3. Найдите все значения \(k\), при которых при всех \(x\) выполняется неравенство \[ (k^2 - 1)x^2 + 2(k-1)x + 2 > 0. \]
12. Точки \(B_1\) и \(C_1\) лежат на сторонах соответственно \(AC\) и \(AB\) треугольника \(ABC\), причём \(AB_1:B_1C = AC_1:C_1B\). Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\).
    1. Докажите, что прямая \(AO\) делит пополам сторону \(BC\).
    2. Найдите отношение площади четырёхугольника \(AB_1OC_1\) к площади треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB_1:B_1C = 1:4\).
13. На отрезке \(BD\) взята точка \(C\). Биссектриса \(BL\) равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(BC\) является боковой стороной равнобедренного треугольника \(BLD\) с основанием \(BD\).
    1. Докажите, что треугольник \(DCL\) равнобедренный.
    2. Известно, что \(\cos \angle ABC = \tfrac{1}{6}\). В каком отношении прямая \(DL\) делит сторону \(AB\)?
14. Изобразить множество точек на плоскости, удовлетворящее условию и найти площадь фигуры: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 1 \le 2\bigl(|x| + |y|\bigr),\\ |x - y| \le 1,\\ \bigl(x + y\bigr)\bigl(\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{y}\bigr) \le 0. \end{cases} \]
15. Упростите выражение, сравните полученное число с нулём: \[ (2\sqrt{6}-5)^2 \;-\;\sqrt{49 - 20\sqrt{6} + 1}. \]

Решения задач

1. Решить уравнение: \[ (x+1)\,\sqrt{1+4x - x^2} \;=\; x^2 - 1. \]
   Решение: Область определения: \[ 1 + 4x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]. \] Преобразуем уравнение: \[ (x+1)(\sqrt{1 + 4x - x^2} - (x - 1)) = 0. \] 1. \(x = -1\) не входит в ОДЗ.
   2. Решаем вторую часть:
   \(\sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1\),
   где \(x \geq 1\).
   Возводим в квадрат: \[ 1 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0;3. \\ \] Проверка \(x = 3\): \[ 4 \cdot \sqrt{4} = 8,\quad 9 - 1 = 8. \\ \] Ответ: \(3\).
   
   
2. Упростить выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+\sqrt{x\,y}} +\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-\sqrt{x\,y}}\Bigr) \;\cdot\; \frac{\sqrt{x^3}\,\sqrt{y}}{x+y}. \]
   Решение: Заметим, что знаменатели можно преобразовать:
   Первая дробь: \[ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + 1)}. \] Вторая дробь: \[ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} - 1)}. \] Общий знаменатель: \(\sqrt{xy}(x - 1)\). После сложения дробей: \[ \frac{2x}{\sqrt{xy}(x - 1)} \cdot \frac{x^{3/2}y^{1/2}}{x + y} = \frac{2x}{x^2 - 1}. \] Ответ: \(\frac{2x}{x^2 - 1}\).
   
   
3. Постройте график функции \[ f(x)=x^2-2|x-2|-1 \] и укажите её множество значений.
   Решение: Разбиваем на случаи:
   • \(x \geq 2\): \(f(x) = x^2 - 2x + 3\). Минимум в точке \(x=2\) равен 3.
   • \(x < 2\): \(f(x) = x^2 + 2x - 5\). Минимум в \(x=-1\) равен \(-6\).
   Наименьшее значение функции \(-6\), ветви параболы стремятся к \(+\infty\).
   Ответ: \(E(f) = [-6; +\infty)\).
   
   
4. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся на 7 и имеющих последней цифрой 3.
   Решение: Арифметическая прогрессия: \(103, 113,\ldots,993\).
   Сумма: \[ \frac{103 + 993}{2} \cdot 90 = 49320. \] Вычитаем числа, кратные 7 (\(133, 203,\ldots,973\)): \[ \frac{133 + 973}{2} \cdot 13 = 7189. \] Ответ: \(49320 - 7189 = 42131\).
   
   
5. Сплав 40г золота одной пробы и 60г другой даёт 62 пробу. При равных массах — 61 пробу.
   Решение: \[ \begin{cases} 40x + 60y = 6200 \\ 50x + 50y = 6100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 56, \\ y = 66. \end{cases} \] Ответ: пробы 56 и 66.
   
   
6. Найдите все \(a\), при которых уравнение \[ a x^2 + (4a+2)x + 3a + 1{,}5 = 0 \] имеет единственный положительный корень.
   Решение: При \(a = 1\) уравнение имеет один положительный корень.
   Ответ: \(a = 1\).
   
   
7. При каких \(a\) решение неравенства \[ (a+2)x^2 - (a-1)x + a - 1 \ge 0 \] — отрезок.
   Решение: Отрезок возможен при \(a \in (-2; 1)\).
   Ответ: \([-2; 1)\).
   
   
8. В равнобедренном треугольнике \(\cos\) угла при вершине \(\frac{2}{3}\). Найдите \(\sin\) и \(\cos\) угла при основании.
   Решение: Углы при основании \(\beta = \frac{1}{2}(180^\circ - \arccos{\frac{2}{3}})\).
   \(\cos{\beta} = \frac{\sqrt{30}}{6}\), \(\sin{\beta} = \frac{\sqrt{6}}{6}\).
   Ответ: \(\cos{\beta} = \frac{\sqrt{30}}{6}\), \(\sin{\beta} = \frac{\sqrt{6}}{6}\).
   
   
9. Периметр трапеции 42, средняя линия 7. Найдите площадь.
   Решение: Высота трапеции 12, площадь \(72\).
   Ответ: 72.
   
   
10. Площадь треугольника с вершинами в точках касания окружности радиуса 2,5 равна 3.
    Ответ: 3.
    
    
11. Решите неравенство: \((k^2-1)x^2 + (4k-4)x + 3 > 0\) при всех \(x\).
    Решение: Условия: \(k^2 -1 > 0\) и дискриминант \( <0 \Rightarrow k \in (-2;2)\).
    Ответ: \(k \in (-2;2)\).