«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2024 год

1. Упростите выражение \[ \bigl(1 - (xy)^{-\frac13}\bigr)^{-1} \cdot \Bigl(\bigl(\sqrt[6]{x} + \tfrac1{\sqrt{x}}\bigr)^2 - \bigl(\sqrt[6]{y} + \tfrac1{\sqrt[6]{y}}\bigr)^2\Bigr). \]
   
   
2. Решите уравнение \[ 2x^4 + x^2(x+2) - 3(x+2)^2 = 0. \]
   
   
3. Решите неравенство \[ |x^2 - 3x + 2| \;\ge\; |x - 1|. \]
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x,y)$ удовлетворяют уравнению \[ \frac{(y^2 - 4x^4)(xy + 2)}{x^2 + y^2 - 5} = 0. \]
   
   
5. В арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов. Найдите отношение суммы первых $2n$ членов к сумме следующих $2n$ членов.
   
   
6. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ (2a - 2)x^2 + (a + 1)x + 1 = 0 \] имеет корни, и все они принадлежат интервалу $(-2;0)$?
   
   
7. Площадь треугольника $ABC$ равна 32, при этом $AB = 10$, $\cos\angle A = 0.6$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
   
   
8. В трапеции $ABCD$ даны длины оснований $AD = 26$ и $BC = 13$, а также диагонали $AC = 15$ и $BD = 36$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AC$.
   
   
9. В треугольнике $ABC$ угол $C$ — прямой, $CD$ — высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках $ACD$ и $BCD$ проведены биссектрисы $DK$ и $DP$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $KP = 4$.
   
   
10. Найдите все натуральные числа $n$, для которых $n^4 - 7n^2 + 1$ — простое число.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \bigl(1 - (xy)^{-\frac{1}{3}}\bigr)^{-1} \cdot \Bigl(\bigl(\sqrt[6]{x} + \tfrac{1}{\sqrt{x}}\bigr)^2 - \bigl(\sqrt[6]{y} + \tfrac{1}{\sqrt[6]{y}}\bigr)^2\Bigr) \] Решение: После упрощения выражение сводится к \(\sqrt{x} - \sqrt{y}\).
   Ответ: \(\boxed{\sqrt{x} - \sqrt{y}}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ 2x^4 + x^2(x+2) - 3(x+2)^2 = 0 \] Решение: Уравнение раскладывается на \((x - 2)(x + 1)(2x^2 + 3x + 6)\). Корни: \(x = 2\), \(x = -1\).
   Ответ: \(\boxed{2}\), \(\boxed{-1}\).
   
   
3. Решите неравенство: \[ |x^2 - 3x + 2| \ge |x - 1| \] Решение: Неравенство преобразуется в \((x - 1)^3 (x - 3) \ge 0\). Решение: \(x \leq 1\) или \(x \geq 3\).
   Ответ: \(\boxed{(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)}\).
   
   
4. Изобразите множество точек: \[ \frac{(y^2 -4x^4)(xy + 2)}{x^2 + y^2 - 5} = 0 \] Ответ: Графики парабол \(y = \pm 2x^2\) и гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) с исключением точек пересечения с окружностью \(x^2 + y^2 = 5\).
   
   
5. Отношение сумм членов арифметической прогрессии: Решение: Отношение суммы первых \(2n\) членов к сумме следующих \(2n\) членов равно \(\frac{1}{5}\).
   Ответ: \(\boxed{\dfrac{1}{5}}\).
   
   
6. Значения параметра \(a\) для корней в интервале \((-2; 0)\): Ответ: \(\boxed{a > \dfrac{3}{2}}\).
   
   
7. Радиус описанной окружности треугольника \(ABC\): Ответ: \(\boxed{\dfrac{5\sqrt{17}}{4}}\).
   
   
8. Расстояние от точки \(D\) до прямой \(AC\): Ответ: \(\boxed{\dfrac{204}{13}}\).
   
   
9. Площадь треугольника \(ABC\) при условии \(KP = 4\): Ответ: \(\boxed{80}\).
   
   
10. Натуральные числа \(n\): Ответ: Натуральные числа \(n = 2\) и \(n = 3\).
    Ответ: \(\boxed{2}\), \(\boxed{3}\).