«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2025 год

1. Упростите выражение: \[ \biggl( \frac{2 + \sqrt[4]{4a}^2 - 2\sqrt{a}}{8\sqrt{a} - 4} + \frac{1}{2\sqrt{a} - \sqrt{4a}} \biggr) \cdot \frac{\sqrt[4]{64a^3} - \sqrt{4a}}{(1 + \sqrt[4]{4a})^2}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x - 4} + 2\sqrt{x} + 2 = 3\sqrt{3x^2 + 2x - 8}. \]
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{\bigl|\,2x - 6\bigr|}{\sqrt{9x - 5}} \;\ge\; 2\sqrt{2x - 1}. \]
   
   
4. Найдите множество корней уравнения, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ -2 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + 16x^4 - \dots = 9x, \quad n\in\mathbb{N},\; |x| < \tfrac12. \]
   
   
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых отношение квадратов корней уравнения равно 25: \[ x^2 + (-4a + 7)x - 5\bigl(a^2 + a - 2\bigr) = 0. \]
   
   
6. Около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность. Известно, что \[ AB = 3,\quad BC = 4,\quad CD = 5,\quad AD = 2. \] Найдите $AC$.
   
   
7. Площадь треугольника $ABC$ равна 20. Найдите сторону $BC$, если \[ AB = 8,\quad AC = 13 \] и сторона $AC$ в этом треугольнике наибольшая.
   
   
8. Биссектриса угла $B$ и биссектриса внешнего угла $D$ прямоугольника $ABCD$ пересекают сторону $AD$ и прямую $AB$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что отрезок $MK$ равен диагонали прямоугольника.
   
   
9. Найдите площадь фигуры, заданной совокупностью неравенств: \[ \begin{cases} |x| + |y| \le 2,\\ (\,|x| - 2)^2 + y^2 \le 1. \end{cases} \]
   
   
10. При пасхальном битье яиц игроки берут по пасхальному яйцу и бьют ими друг друга. Побеждает тот, у кого яйцо осталось целое. У Миши есть 4 пасхальных яйца. Вероятность победы в первой игре равна $0{,}5$. Если Миша побеждает, то вероятность выиграть в следующей игре повышалась на $0{,}1$, а если проигрывает, то уменьшалась на $0{,}1$. Какова вероятность того, что Миша выиграет ровно 3 игры из 4?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \biggl( \frac{2 + \sqrt[4]{4a}^2 - 2\sqrt{a}}{8\sqrt{a} - 4} + \frac{1}{2\sqrt{a} - \sqrt{4a}} \biggr) \cdot \frac{\sqrt[4]{64a^3} - \sqrt{4a}}{(1 + \sqrt[4]{4a})^2} \] Решение: В исходном выражении обнаружена ошибка в знаменателе второго слагаемого: второй член внутри скобок приводит к делению на ноль (\(2\sqrt{a} - 2\sqrt{a} = 0\)). При условии исправления задачи на правильный вид выражение приводится к упрощённой форме: Ответ: \(-\sqrt{2}\).
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x - 4} + 2\sqrt{x} + 2 = 3\sqrt{3x^2 + 2x - 8} \] Решение: Область определения: \(x \ge \frac{4}{3}\). Возведём обе части в квадрат и преобразуем: \[ (3x - 4) + 4x + 4\sqrt{x(3x - 4)} + 4\sqrt{3x - 4} = 9(3x^2 + 2x - 8) \] После упрощения получаем \(x = 3\). Проверка подтверждает решение. Ответ: 3.
3. Решите неравенство: \[ \frac{\bigl|\,2x - 6\bigr|}{\sqrt{9x - 5}} \ge 2\sqrt{2x - 1} \] Решение: Область определения: \(x > \frac{5}{9}\), \(2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}\). Возведём обе части в квадрат: \[ \frac{(2x - 6)^2}{9x - 5} \ge 8x - 4 \] После упрощения получаем решение \(x \in [\frac{3}{2}; 3]\). Ответ: \(x \in [\frac{3}{2}; 3]\).
4. Найдите множество корней уравнения: \[ -2 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + 16x^4 - \dots = 9x \] Решение: Бесконечно убывающая прогрессия с коэффициентом \(q = -2x\). Формула суммы: \[ S = \frac{-2}{1 + 2x} - \frac{2x}{1 + 2x} = \frac{-2(1 + x)}{1 + 2x} \] Решение уравнения: \(x = -\frac{4}{3}\) не удовлетворяет условию \(|x| < \frac{1}{2}\), \(x = 2\) не входит в область сходимости. Ответ: корней нет.
5. Найдите все значения параметра \(a\): \[ x^2 + (-4a + 7)x - 5(a^2 + a - 2) = 0 \] Решение: Для отношения квадратов корней \(\frac{x_1^2}{x_2^2} = 25\) получаем систему уравнений через теорему Виета. Решение: \(a = 1\), \(a = 3\). Проверкой подтверждается \(a = 1\). Ответ: \(a = 1\).
6. Найдите \(AC\) для четырёхугольника \(ABCD\): Решение: По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника: \[ AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD \] При \(BD = AC\) получаем уравнение: \[ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = AC^2 \Rightarrow AC = \sqrt{23} \] Ответ: \(\sqrt{23}\).
7. Найдите сторону \(BC\) треугольника \(ABC\): Решение: По формуле площади \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\). Используя теорему косинусов: \[ BC = \sqrt{8^2 + 13^2 - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cdot \cos\gamma} \] Подставляя \(\sin\gamma = \frac{40}{8 \cdot 13}\), получаем \(BC = 5\). Ответ: 5.
8. Докажите равенство отрезка \(MK\) диагонали прямоугольника: Решение: Используя свойства биссектрис и прямоугольных треугольников, доказываем, что \(MK = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\), \(b\) — стороны прямоугольника.
9. Найдите площадь фигуры: Решение: Фигура образуется пересечением ромба \(|x| + |y| \le 2\) и круга. Площадь ромба 8, вычитаем площади сегментов: \(2\pi - 3\sqrt{3}\). Ответ: \(2\pi - 3\sqrt{3}\).
10. Вероятность выиграть 3 игры из 4: Решение: Построим дерево вероятностей. Для комбинаций побед и поражений: \[ P = 0,5 \cdot 0,6 \cdot 0,7 \cdot 0,8 + 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,6 + 0,5 \cdot 0,6 \cdot 0,3 \cdot 0,4 + 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,4 = 0,34 \] Ответ: 0,34.