«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 2024 год.

1. Упростите выражение \[ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{3}{2}}} \;\;\colon\;\; \frac{\sqrt[3]{a^{-1} - b\,a^{-2}}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}} \;-\; ab. \]
   
   
2. Решите уравнение \[ x(x+3)(x+5)(x+8) + 56 = 0. \]
   
   
3. Решите неравенство \[ |x - 2| < 8(2 + x)^{-1}. \]
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых \((x; y)\) удовлетворяют уравнению \[ \frac{(4y^2 - x^2)\,(xy - 2)}{x^2 + y^2 - 5} = 0. \]
   
   
5. В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей?
   
   
6. При каких значениях параметра \(a\) множество решений неравенства \[ x^2 + a x - 1 < 0 \] является интервалом длины 5?
   
   
7. В трапецию вписана окружность и около неё описана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если основания трапеции равны 49 и 16.
   
   
8. Внутри угла величиной \(45^\circ\) расположена точка \(K\), удалённая от сторон угла на расстояния \(2\) и \(2\sqrt{2}\). Найдите расстояние от точки \(K\) до вершины угла.
   
   
9. Через концы дуги окружности в \(120^\circ\) проведены касательные. В фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписали окружность. Постройте длину этой окружности, если радиус исходной окружности равен \(2\sqrt{2}\).
   
   
10. Сколько существует шестизначных чисел, записанных с помощью цифр \(1,3,5,7,9\) и таких, что хотя бы две одинаковые цифры идут подряд?

Решения задач

1. Упростите выражение \[ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{3}{2}}} \;\;\colon\;\; \frac{\sqrt[3]{a^{-1} - b\,a^{-2}}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}} \;-\; ab. \]
   Решение:
   1. Преобразуем первое отношение: Числитель первой дроби: $$a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$$ Знаменатель первой дроби: $$(a^2 - ab)^{\frac{3}{2}} = [a(a - b)]^{\frac{3}{2}} = a^{\frac{3}{2}}(a - b)^{\frac{3}{2}}$$ Первая дробь: $$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{a^{\frac{3}{2}}(a - b)^{\frac{3}{2}}}$$ 2. Второе отношение: Числитель второй дроби: $$\sqrt[3]{a^{-1} - b a^{-2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{a} - \frac{b}{a^2}} = \sqrt[3]{\frac{a - b}{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a - b}}{a^{\frac{2}{3}}}$$ Знаменатель второй дроби: $$a\sqrt{a} - b\sqrt{b} = a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)$$ Вторая дробь: $$\frac{\sqrt[3]{a - b}}{a^{\frac{2}{3}} (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}$$ 3. Деление дробей эквивалентно умножению на обратную: $$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{a^{\frac{3}{2}}(a - b)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt[3]{a - b}}$$ 4. Сокращаем множители: $$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$ $$(a - \sqrt{ab} + b)(a + \sqrt{ab} + b) = (a + b)^2 - ab = a^2 + ab + b^2$$ $$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^{\frac{3}{2}} (a - b)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{a - b}} = \frac{(a^2 + ab + b^2)}{a^{\frac{5}{6}} (a - b)^{\frac{5}{3}}}$$ 5. Вычитаем \(ab\): После упрощений итоговое выражение: $$\frac{a^2 + ab + b^2}{a^{\frac{5}{6}} (a - b)^{\frac{5}{3}}} - ab$$ Ответ: \(-ab\)
   
   
2. Решите уравнение \[ x(x+3)(x+5)(x+8) + 56 = 0. \]
   Решение:
   1. Сгруппируем множители: $$(x(x+8))( (x+3)(x+5)) + 56 = 0$$ $$(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) + 56 = 0$$ 2. Замена \(y = x^2 + 8x\): $$y(y + 15) + 56 = 0$$ $$y^2 + 15y + 56 = 0$$ 3. Решаем квадратное уравнение: $$D = 225 - 224 = 1$$ $$y = \frac{-15 \pm 1}{2} \Rightarrow y = -7 \text{ или } y = -8$$ 4. Возвращаемся к исходной переменной: Случай 1: \(x^2 + 8x = -7\) $$x^2 + 8x + 7 = 0$$ $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{-8 \pm 6}{2} \Rightarrow x = -1, x = -7$$ Случай 2: \(x^2 + 8x = -8\) $$x^2 + 8x + 8 = 0$$ $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{32}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{2}$$ Ответ: \(-7; -1; -4 \pm 2\sqrt{2}\)
   
   
3. Решите неравенство \[ |x - 2| < 8(2 + x)^{-1}. \]
   Решение:
   1. Область определения: \(x \neq -2\) 2. Рассмотрим случаи: Случай 1: \(x > -2\) Умножим обе части на \(x + 2 > 0\): $$(x - 2)(x + 2) < 8$$ $$x^2 - 4 < 8$$ \(x^2 < 12 \Rightarrow -\sqrt{12} < x -2\), получаем \(-2 < x < 2\sqrt{3}\) Случай 2: \(x < -2\) Умножим на \(x + 2 8\) $$x^2 - 4 > 8 \Rightarrow x^2 > 12 \Rightarrow x > 2\sqrt{3} \text{ или } x < -2\sqrt{3}$$ Учитывая \(x < -2\), получаем \(x < -2\sqrt{3}\) Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{3}) \cup (-2; 2\sqrt{3})\)
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых \((x; y)\) удовлетворяют уравнению \[ \frac{(4y^2 - x^2)\,(xy - 2)}{x^2 + y^2 - 5} = 0. \]
   Решение:
   Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель – нет. 1. Решаем \(4y^2 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2y\) (две прямые). Проверяем знаменатель: \(x^2 + y^2 \neq 5\) 2. Решаем \(xy - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{x}\). Знаменатель: \(x^2 + \frac{4}{x^2} \neq 5\) 3. Исключаем точки пересечения: - Для \(x = 2y\) подставляем в знаменатель: $$4y^2 + y^2 = 5y^2 \neq 5 \Rightarrow y \neq \pm 1 \Rightarrow x \neq \pm 2$$ - Для \(y = \frac{2}{x}\), \(x \neq \pm \sqrt{\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}}\) Ответ: Объединение прямых \(x = \pm 2y\) с гиперболой \(y = \frac{2}{x}\) без точек пересечения с окружностью \(x^2 + y^2 = 5\)
   
   
5. В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей?
   Решение:
   1. Пусть \(a_5 = a_1 + 4d = 2\) 2. Члены прогрессии: $$a_4 = 2 - d, \quad a_7 = 2 + 2d, \quad a_8 = 2 + 3d$$ 3. Попарные произведения: $$a_4a_7 + a_4a_8 + a_7a_8 = (2 - d)(2 + 2d) + (2 - d)(2 + 3d) + (2 + 2d)(2 + 3d)$$ 4. Раскрываем скобки: $$(4 + 2d - 2d - 2d^2) + (4 + 6d - 2d - 3d^2) + (4 + 6d + 4d + 6d^2)$$ Упрощаем: \(12 + 13d + d^2\) 5. Минимум квадратного трёхчлена при \(d = -\frac{13}{2}\) Ответ: \(d = -6.5\)
   
   
6. При каких значениях параметра \(a\) множество решений неравенства \[ x^2 + a x - 1 < 0 \] является интервалом длины 5?
   Решение:
   1. Корни квадратного уравнения: $$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4}}{2}$$ 2. Длина интервала: $$\frac{\sqrt{a^2 + 4}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{a^2 + 4}}{2}\right) = \sqrt{a^2 + 4} = 5$$ 3. Решаем: $$a^2 + 4 = 25 \Rightarrow a^2 = 21 \Rightarrow a = \pm \sqrt{21}$$ Ответ: \(a = \pm \sqrt{21}\)
   
   
7. В трапецию вписана окружность и около неё описана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если основания трапеции равны 49 и 16.
   Решение:
   1. Для описанной трапеции суммы оснований равна сумме боковых сторон: $$AD + BC = AB + CD = 49 + 16 = 65$$ 2. Для вписанной окружности сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(AB + CD = 65\) 3. Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{h}{2}, \quad h – \text{высота}$$ 4. Площадь трапеции: $$S = \frac{(49 + 16)}{2} \cdot h = \frac{65h}{2} = r \cdot (49 + 16) \Rightarrow r = \frac{h}{2}$$ 5. Высота через радиус: $$h = 2r \Rightarrow S = 65r$$ Также \(S = \frac{65h}{2} = \frac{65 \cdot 2r}{2} = 65r\), что верно. Для трапеции, описанной около окружности, радиус равен \(r = \frac{AD - BC}{2}\) при неверных основаниях, но здесь требуется другой подход. Используем формулу для радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции, но задача требует уточнения. Возможно, трапеция равнобедренная. В таком случае: Разность оснований: \(49 - 16 = 33\), боковые стороны \(AB = CD = \frac{65}{2}\), радиус вписанной окружности \(r = \frac{49 + 16}{2} \cdot \frac{AD - BC}{AB}\). В итоге \(r = \frac{\sqrt{(49 + 16)^2 - 33^2}}{4} = \frac{\sqrt{65^2 - 33^2}}{4} = \frac{\sqrt{3136}}{4} = \frac{56}{4} = 14\) Ответ: 14
   
   
8. Внутри угла величиной \(45^\circ\) расположена точка \(K\), удалённая от сторон угла на расстояния 2 и \(2\sqrt{2}\). Найдите расстояние от точки \(K\) до вершины угла.
   Решение:
   1. Координаты точки K: пусть вершина угла в начале координат, стороны по осям. Расстояния до сторон 2 и \(2\sqrt{2}\), но угол 45°, перейдём к полярным координатам. 2. Формула расстояния от точки до сторон угла: $$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ 3. По теореме проекций: $$OK = \sqrt{(2)^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos45°} = \sqrt{4 + 8 + 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{12 + 4\sqrt{2}}$$ Ответ: \(\sqrt{12 + 4\sqrt{2}}\)
   
   
9. Через концы дуги окружности в \(120^\circ\) проведены касательные. В фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписали окружность. Постройте длину этой окружности, если радиус исходной окружности равен \(2\sqrt{2}\).
   Решение:
   1. Центральный угол 120°, радиус R = \(2\sqrt{2}\). Касательные образуют угол 60°. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла. Расстояние от центра до вершины угла: $$d = \frac{r}{\sin30°} = 2r$$ 2. Расстояние от центра исходной окружности до вершины угла: \(OA = \frac{R}{\sin30°} = 4\sqrt{2}\) 3. Расстояние между центрами: $$d - r = 2r - r = r$$ 4. По теореме Пифагора: $$(4\sqrt{2})^2 = (R + r)^2 - r^2 \Rightarrow 32 = R^2 + 2Rr \Rightarrow 32 = 8 + 4\sqrt{2}r$$ Решаем: \(4\sqrt{2}r = 24 \Rightarrow r = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\) 5. Длина окружности: \(2\pi r = 6\sqrt{2}\pi\) Ответ: \(6\sqrt{2}\pi\)
   
   
10. Сколько существует шестизначных чисел, записанных с помощью цифр \(1,3,5,7,9\) и таких, что хотя бы две одинаковые цифры идут подряд?
    Решение:
    1. Всего чисел: \(5^6 = 15625\) 2. Количество чисел без повторяющихся подряд цифр: $$5 \cdot 4^5 = 5 \cdot 1024 = 5120$$ 3. Искомая разность: \(15625 - 5120 = 10505\) Ответ: 10505