«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 9 в 10 класс 12 апреля 2025 год

1. Упростите выражение: \[ \frac{ (a + \sqrt{4a} + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot (\sqrt[4]{a^3} + \sqrt{8b^3}) }{ \bigl(\sqrt[4]{2b} - \sqrt{4a}\bigr)^2 + \bigl(\sqrt[4]{2b} + \sqrt{4a}\bigr)^2 } \cdot (a - \sqrt{2ab} + 2b) \;-\; \tfrac12\sqrt{a}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{x - 11 + \frac{9}{x - 5}} \;+\; \sqrt{\frac{x - 5}{(x - 8)^2}} \;=\; \frac{5}{2}. \]
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{\bigl|\,7 - 6x^2\bigr| - \bigl|\,14x^2 + x + 6\bigr|} {\sqrt{-x^2 + 4x + 77}} \;\le\; 0. \]
   
   
4. Найдите множество корней уравнения, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ 1 + 2x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots = \frac{13}{6}, \quad |x| < 1. \]
   
   
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых модуль одного корня уравнения в три раза меньше модуля другого корня: \[ x^2 - 3(a + 3)x + 18(a + 1) = 0. \]
   
   
6. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Найдите градусную меру угла $ACB$, если $C, D, E$ и $O$ лежат на одной окружности.
   
   
7. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 15, а диагонали равны 26 и 28.
   
   
8. Для выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соблюдено условие: \[ AB + CD = BC + DA. \] Докажите, что окружность, вписанная в $\triangle ABD$, касается окружности, вписанной в $\triangle BCD$.
   
   
9. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств: \[ \begin{cases} |y| + |x - y| \ge 4,\\ x^2 + y^2 \le 32. \end{cases} \]
   
   
10. Для доказательства существования планет, пригодных для жизни, отобрали 5 экзопланет. Про 4 из 5 этих планет известно, что вероятность того, что планета пригодна для жизни, составляет $0{,}8$, а для пятой — $0{,}6$. Какова вероятность того, что пригодными для жизни окажутся 3 или 4 планеты?

Решения задач

1. Упростим выражение: \[ \frac{ (\sqrt{a} + 1) \cdot (\sqrt[4]{a^3} + 2b\sqrt{2b}) }{ 8a + 2\sqrt{2b} } \cdot (a - \sqrt{2ab} + 2b) \;-\; \tfrac{1}{2}\sqrt{a}. \] После упрощений: \[ \sqrt{a} - \tfrac{1}{2}\sqrt{a} = \tfrac{1}{2}\sqrt{a}. \] Ответ: \(\dfrac{\sqrt{a}}{2}\).
   
   
2. Решим уравнение: \[ \sqrt{\frac{(x-8)^2}{x-5}} + \sqrt{\frac{x-5}{(x-8)^2}} = \frac{5}{2}. \] Принимая \( t = \dfrac{|x-8|}{\sqrt{x-5}} \), получаем уравнение \( t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{5}{2} \), корни \( t = 2 \) и \( t = \tfrac{1}{2} \). Решения уравнения: \( x = 6; 7,25; 9; 14 \). Ответ: 6; 7,25; 9; 14.
   
   
3. Неравенство: \[ \frac{-8x^2 - x - 13}{\sqrt{-x^2 + 4x + 77}} \le 0. \] Числитель всегда отрицателен. Решение: \( x \in [-7; -0{,}25] \cup [0{,}2; 11] \). Ответ: \( x \in [-7; -0{,}25] \cup [0{,}2; 11] \).
   
   
4. Бесконечная прогрессия: \[ 1 + 2x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots = \frac{13}{6}. \] Суммируем прогрессии: \[ 1 + \frac{2x}{1 + x} + \frac{x^2}{1 + x} = \frac{13}{6}. \] Решение: \( x = \dfrac{1}{2} \). Ответ: \( \dfrac{1}{2} \).
   
   
5. Уравнение \( x^2 - 3(a + 3)x + 18(a + 1) = 0 \). Условие \( |x_1| = 3|x_2| \). Ответ: \( a = 5; -\tfrac{1}{3}; -\tfrac{5}{3}; -7 \).
   
   
6. Угол \( ACB \): По условию точки \( C, D, E, O \) лежат на окружности. Ответ: \( 90^\circ \).
   
   
7. Площадь параллелограмма: Используем формулу \( S = \sqrt{p(p - d_1)(p - d_2)(p - 2a)} \), где \( p = \tfrac{d_1 + d_2 + 2a}{2} \). Ответ: \( 168 \).
   
   
8. Доказательство касания окружностей: Используем равенство \( AB + CD = BC + DA \). Окружности касаются на общей стороне \( BD \).
   
   
9. Площадь фигуры: Пересечение круга радиусом \( \sqrt{32} \) и областей \( |y| + |x - y| \ge 4 \). Ответ: \( 32\pi - 64 \).
   
   
10. Вероятность: Используем формулу Бернулли для каждых планет: Ответ: \( 0{,}7152 \).