«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2024 год

1. Можно ли расставить числа $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ по кругу так, чтобы сумма любых трёх чисел, стоящих подряд, делилась на 3 и была больше 9? А если требуется, чтобы сумма любых трёх чисел делилась на 3 и была больше 15?
2. Докажите, что для любых $a,b,c$ верно неравенство \[ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca. \]
3. Найдите все квадратные трёхчлены $ax^2 + bx + c$, у которых коэффициенты $a,b,c$ и корни $x_1,x_2$ образуют (в некотором порядке) множество из пяти последовательных натуральных чисел.
4. Сколько различных слагаемых останется, если раскрыть скобки и привести подобные в следующем выражении: \[ (1 + x^{23} + x^{46} + \dots + x^{184})^{11} + (1 + x^{11} + x^{22} + \dots + x^{88})^{23}\,? \]
5. В треугольнике $FTL$ проведена биссектриса $LP$. Точка $D$ — касания вписанной окружности со стороной $TL$, а $O$ — пересечение отрезков $FD$ и $LP$. Найдите отношения \[ FO:OD \quad\text{и}\quad LO:OP, \] если $FT = 13$, $TL = 11$, $LF = 4$.
6. В треугольнике $ABC$: $I$ — центр вписанной окружности, $I_a$ и $I_b$ — точки пересечения внешней биссектрисы угла $C$ с биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно, $W$ — точка пересечения прямой $I_aI_b$ с описанной окружностью (отличная от $C$).
   1. Докажите, что \[ WI_a = WI_b = WA = WB. \]
   2. Докажите, что точки $C$, $I$ и середины отрезков $AI_a$ и $BI_b$ лежат на одной окружности.

Решения задач

1. Первая часть: Да, можно расставить числа следующим образом: 9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,... Проверка сумм трёх последовательных:
   9+1+2=12 (делится на 3, >9), 1+2+3=6 (не подходит). Значит, неверно. На самом деле, правильная расстановка учитывает остатки чисел:
   Расставляем остатки по модулю 3 в последовательности 0,1,2,0,1,2,... Например: 3,1,5,6,4,2,9,7,8.
   Проверка сумм: 3+1+5=9, 1+5+6=12, 5+6+4=15, 6+4+2=12 и т.д. Все суммы делятся на 3 и >9.
   Вторая часть: Нет, невозможно. Максимальная сумма трёх чисел: 7+8+9=24. Для суммы >15 требуется минимум 16, но при любом расположении найдутся тройки с меньшей суммой (например, 1,2,*).
   Ответ: Да для первой части, нет для второй.
   
   
2. Доказательство: \[ a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = \frac{1}{2}\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right] \ge 0. \] \vspace{-5mm} \hfill \(\square\)
   
   
3. Рассмотрим возможные наборы из пяти последовательных чисел: n, n+1, n+2, n+3, n+4. Положим корни x₁ = n, x₂ = n+1. Тогда по теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2n+1, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a} = n(n+1). \] Среди коэффициентов должны присутствовать числа n+2, n+3, n+4. Пробные значения n=2: корни 2 и 3, коэффициенты 4,5,6. Уравнение: \[ 4x^2 -5x +6 \quad \text{(дискриминант 25-96 <0)} \implies \text{нет корней}. \] Проверим n=1: корни 1 и 2, коэффициенты 3,4,5. Уравнение: \[ 3x^2 -4x +5 \quad \text{(D=16-60 <0)}. \] Подходящий вариант: трёхчлен $6x^2 -13x +12$ с корнями $\frac{13 \pm \sqrt{169-288}}{12}$ комплексные. Таким образом, действительных трёхчленов с указанным свойством не существует.
   Ответ: Нет таких трёхчленов.
   
   
4. Каждое слагаемое в первом выражении имеет степень, кратную 23. Во втором — кратно 11. Общие слагаемые кратны НОК(23,11)=253. Число слагаемых: \[ \left(\frac{2024}{23} + 1\right) + \left(\frac{2024}{11} + 1\right) - \left(\frac{2024}{253} + 1\right) = 89 + 185 - 9 = 265. \] Ответ: 265.
   
   
5. Найдём координаты точек, используя теорему Менелая. Для отношения FO:OD можно применить теорему к треугольнику FTL с секущей LP. Получим: \[ FO:OD = 13:4. \] Для отношения LO:OP воспользуемся свойством биссектрисы: \[ LO:OP = \frac{TL}{FT} = \frac{11}{13}. \] Ответ: FO:OD = 13:4; LO:OP = 11:13.
   
   
6. а) По построению W лежит на серединном перпендикуляре отрезков $AI_a$ и $BI_b$, так как углы при W равны. Следовательно, WA = WB и $WI_a = WI_b.$ б) Середины отрезков $AI_a$ и $BI_b$ образуют средние линии треугольников $AI_aC$ и $BI_bC$. Четырёхугольник, образованный этими серединами, точкой I и точкой C, является прямоугольником, чьи вершины лежат на одной окружности.