«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2024 год

1. Решите уравнение \[ \frac{2}{x^4 - 2x^2 + 1} + \frac{2}{1 - x^4} = \frac{1}{x^2 + 1}. \]
2. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle\frac{3(1 - x)}{2} \ge 2,\\ |x + 3| \ge 5,\\ 3x + \tfrac{1}{2} \ge -4. \end{cases} \]
3. Одной машинистке для выполнения всей работы требуется на 6 дней больше, чем другой. Если сначала 8 дней будет работать первая машинистка, а затем начнёт работать вторая, то ещё через 4 дня они работу закончат. За какое время может выполнить всю работу каждая машинистка?
4. Упростите выражение \[ \Bigl(\sqrt{a} - \frac{9b - 4a}{a - \sqrt{ab} + b}\,\Bigr) \;\bigl(\sqrt{a} + \sqrt{b}\bigr)\bigl(2\sqrt{a} - 3\sqrt{b}\bigr)\,\bigl(\sqrt{a} + b\sqrt{b}\bigr) \;(\sqrt{a} - \sqrt{b})\,. \]
5. Постройте график функции \[ y = -2 - \frac{|x + 2|}{x + 2}. \]
6. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ (a - 5)x^2 - 5x - a = 0 \] имеет единственный корень?
7. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, причём \(AD\) — диаметр окружности и \(AB = CD\). В другой части окружности выбрана точка \(K\), причём \(\angle BKC = 40^\circ\). Докажите, что \(ABCD\) — трапеция, и найдите её углы.
8. В прямоугольной трапеции \(ABCD\) провели прямую \(CK\) так, что треугольник \(CKD\) оказался равносторонним. Прямая \(CK\) пересекает продолжение стороны \(AB\) за точкой \(A\) в точке \(F\). Найдите \(AF:AB\), если \(AK:KD = 3:8\).
9. Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle A = 90^\circ\)). Окружность, центр которой расположен на \(AC\), касается катета \(AB\) в точке \(A\), гипотенузы \(BC\) в точке \(K\) и повторно пересекает катет \(AC\) в точке \(P\). Найдите длину гипотенузы \(BC\), если \(CK = \sqrt{6}\), а радиус окружности равен \(\sqrt{2}\).
10. В трапеции \(ABCD\) углы при большем основании составляют \(30^\circ\) и \(60^\circ\). Через середины боковых сторон провели отрезок \(MN\). Найдите высоту трапеции, если известно, что \(MN = \sqrt{6}\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{2}{x^4 - 2x^2 + 1} + \frac{2}{1 - x^4} = \frac{1}{x^2 + 1} \] Решение: \[ \frac{2}{(x^2-1)^2} - \frac{2}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1} \] Общий знаменатель: $(x^2-1)^2(x^2+1)$. После преобразований: \[ 2(x^2+1) - 2(x^2-1) = (x^2-1)^2 \] \[ 4 = x^4 - 2x^2 + 1 \Rightarrow x^4 - 2x^2 -3 = 0 \Rightarrow (x^2-3)(x^2+1)=0 \] Корни: $x = \pm\sqrt{3}$. Проверка ОДЗ: $x^2 \ne 1$ выполняется. Ответ: $\pm\sqrt{3}$.
   
   
2. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{3(1 - x)}{2} \ge 2,\\ |x + 3| \ge 5,\\ 3x + \frac{1}{2} \ge -4. \end{cases} \] Решение:
   1. $\frac{3(1-x)}{2} \ge 2 \Rightarrow 3-3x \ge 4 \Rightarrow x \le -\frac{1}{3}$
   2. $|x+3| \ge 5 \Rightarrow x+3 \ge 5$ или $x+3 \le -5 \Rightarrow x \ge 2$ или $x \le -8$
   3. $3x \ge -4,5 \Rightarrow x \ge -1,5$
   Пересечение: $x \in [-1,5; -\frac{1}{3}]$ пересечь с $(-\infty;-8] ∪ [2;+\infty)$ и с условия третьего неравенства — решений нет.
   Ответ: Нет решений.
   
   
3. Первая машинистка работает за $x$ дней, вторая за $(x-6)$ дней.
   Составим уравнение: \[ \frac{8}{x} + 4\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}\right) = 1 \] После преобразований: \[ 8 + 4(x-6) + 4x = x(x-6) \Rightarrow x^2-14x+24 = 0 \] Корни: $x=12$ и $x=2$ (не подходит). Ответ: 12 дней и 6 дней.
   
   
4. Упростить: \[ \left(\sqrt{a} - \frac{9b - 4a}{a - \sqrt{ab} + b}\right)(\sqrt{a}+\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})(\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \] Решение: Замена $\sqrt{a} = m$, $\sqrt{b} = n$. Знаменатель: $m^2 - mn + n^2$. После упрощения выражение сокращается до 4m². Ответ: $4a$.
   
   
5. График функции: \[ y = -2 - \frac{|x+2|}{x+2} \] При $x > -2$: $y = -3$. При $x < -2$: $y = -1$. Выколотая точка при $x=-2$. Ответ: Две горизонтальные линии с разрывом.
   
   
6. Для уравнения $(a-5)x^2 -5x -a =0$ единственный корень при:
   1. $a=5$: $-5x -5 =0 \Rightarrow x=-1$ — единственный корень.
   2. Дискриминант равен нулю: \[ 25 +4(a-5)a = 0 \Rightarrow 4a^2 +25 -20a =0 \Rightarrow a=\frac{25}{4} \] Ответ: $a=5$ или $a=\frac{25}{4}$.
   
   
7. Трапеция ABCD: AD — диаметр ⇒ ∠ABD = 90°. AB=CD ⇒ равнобедренная трапеция. ∠BKC =40° ⇒ дуга BC=80°. Углы трапеции: 80°, 100°, 80°, 100°.
   
   
8. Трапеция ABCD, CK — высота равностороннего треугольника CKD. AK:KD=3:8 ⇒ AK=3x, KD=8x. Из подобия треугольников AF:AB=3:5.
   
   
9. Используя координаты, центр окружности O на AC. OA = √2 (радиус). Уравнение окружности: $(x-a)^2 + y^2 = 2$. Касание BC в точке K. Решив систему, находим BC=2√6.
   
   
10. Высоту h найдем через MN=√6. Средняя линия MN=(AD+BC)/2. Через углы и высоту: BC = h·2/(√3). Ответ: h=√2.