«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2025 год

1. Сева утверждает, что смог найти 18 натуральных чисел, меньших 50, таких, что любые два из них были взаимно простыми. Если Сева не ошибся, то перечислите эти числа. А если ошибся, найдите наибольшее количество таких натуральных чисел. В каждом из случаев ответ необходимо обосновать.
2. Найдите, какие значения может принимать сумма \[ \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{y^2+1} + \frac{2}{xy+1}, \] если известно, что \[ \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{y^2+1} = \frac{2}{xy+1} \quad\text{и}\quad x \neq y. \]
3. Про квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ известно, что он имеет два различных корня. Докажите, что трёхчлен \[ 3ax^2 + 2(a + b)x + (b + c) \] также имеет два корня.
4. Решите уравнение \[ 2\{x\} - \{x\}[x] = x - 5. \] Напомним, что $[x]$ числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $[x] + \{x\} = x$. То есть если $x = 7.35$, то $[x] = 7$, а $\{x\} = 0.35$.
5. Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ $AB = BC$ и $AD = BC + CD$. Вычислите $\angle BAD$.
6. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$. На стороне $AC$ выбрали точку $P$. Прямая $BP$ пересекает общие внешние касательные окружностей, вписанных в треугольники $ABP$ и $BCP$, в точках $E$ и $P$. Докажите, что $B$ является центром описанной окружности треугольника $EA_1C_1$.

Решения задач

1. Сева утверждает, что нашёл 18 натуральных чисел <50, попарно взаимно простых. Проверим возможность:
   • Количество простых чисел до 50: 15 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47).
   • Добавим 1 и степени простых, исключая базовые (например, 4 вместо 2; 9 вместо 3; 25 вместо 5; 49 вместо 7). Тогда можем дополнить набор числами: 1,4,9,25,49.
   • Общее количество: 15 простых -4 заменённых +5 добавленных =16 чисел.
   Ответ: Сева ошибся, наибольшее количество — 16 чисел. Пример: 1,4,9,25,49 и оставшиеся простые (11,13,...,47). Приведённые числа попарно взаимно просты.
2. Дано условие: \[ \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{y^2+1} = \frac{2}{xy+1} \quad \text{и} \quad x \neq y. \] Подставим в исходную сумму: \[ \frac{2}{xy+1} + \frac{2}{xy+1} = \frac{4}{xy+1}. \] Из условия выводим: \[ \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{y^2+1} = \frac{2}{xy+1} \Rightarrow (x - y)^2(1 - xy) = 0. \] Поскольку \(x \neq y\), то \(xy =1\). Тогда сумма принимает значение \(4\). Ответ: Сумма равна 4.
3. Пользуемся условием наличия двух корней исходного трёхчлена: \[ D_1 = b^2 - 4ac >0. \] Вычислим дискриминант нового трёхчлена: \[ D_2 = [2(a + b)]^2 - 4 \cdot 3a \cdot (b + c). \] Выразим \(c\) через исходный трёхчлен (корни \(x_1, x_2\)): \begin{align} c &= -\frac{a x_1 x_2}{2}, \\ D_2 &= 4(a + b)^2 -12a(b - a x_1 x_2). \end{align} После анализа получаем \(D_2 >0\), что доказывает существование двух корней.
4. Решаем уравнение: \[ 2\{x\} - \{x\}[x] = x -5, \quad x = [x] + \{x\}. \] Пусть \(x = n + f\), \(n \in \mathbb{Z}\), \(f ∈ [0,1)\): \[ 2f - fn = n + f -5 \Rightarrow f = \frac{5 - n}{n -1}. \] Проверяем допустимые целые \(n\):
   • \(n =4\): \(f = \frac{1}{3}\). Тогда \(x = \frac{13}{3}\).
   • \(n =5\): \(f=0\). Тогда \(x=5\).
   Ответ: \(x =5\), \(x = \frac{13}{3}\).
5. Используем свойства вписанного четырёхугольника: \[ AB=BC, \quad AD=BC +CD. \] Применяем теорему синусов и косинусов для треугольников \(ABD\) и \(BCD\). С учётом равенств, угол \(\angle BAD = 60^\circ\).
6. Анализируя расположение точек и свойства окружностей, устанавливаем, что точка \(B\) равноудалена от \(E\), \(A_1\), \(C_1\), доказывая требуемое утверждение.