«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2025 год

1. Известно, что \(\tfrac{a}{b}=2\). Найдите значение выражения \[ \frac{3a^2 - 2ab + b^2}{5a^2 + 2b^2}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \text{a)}\;(2x-2)^2(x-2)\;=\;(2x-2)(x-2)^2,\qquad \text{б)}\;\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2+x}. \]
   
   
3. Постройте график функции \[ y=\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 3x + 2}. \]
   
   
4. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы и бежали на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второму бегуну первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.
   
   
5. 1. Известно, что \(a\in[-7;11]\) и \(b\in[-13;4]\). Какие значения принимает произведение \(ab\)?
   2. Решите неравенство \[ x^2 - 1 \ge 2\lvert x - 1\rvert. \]
   
   
   
6. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ (2a - 5)x^2 - 2(a - 1)x + 3 = 0 \] имеет один корень?
   
   
7. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 и 20. Найдите катеты треугольника и его площадь.
   
   
8. Пятиугольник вписан в окружность. Один его угол равен \(150^\circ\), а три стороны, не выходящие из вершины данного угла, равны между собой. Найдите угол между этими сторонами.
   
   
9. Докажите, что в равнобедренной трапеции высота, проведённая к большему основанию, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований.
   
   
10. При каком целом \(a\) значение выражения \[ \frac{a^n - 5n + 4}{n - 2} \] является целым числом?

Решения задач

1. Известно, что \(\frac{a}{b}=2\). Найдите значение выражения \[ \frac{3a^2 - 2ab + b^2}{5a^2 + 2b^2}. \] Решение: Так как \(\frac{a}{b}=2\), то \(a=2b\). Подставим в выражение: \[ \frac{3(2b)^2 - 2(2b)b + b^2}{5(2b)^2 + 2b^2} = \frac{12b^2 -4b^2 +b^2}{20b^2 +2b^2} = \frac{9b^2}{22b^2} = \frac{9}{22}. \] Ответ: \(\frac{9}{22}\).
   
   
2. Решите уравнение:
   1. \((2x-2)^2(x-2) = (2x-2)(x-2)^2\)
      Решение: Перенесем все влево и разложим на множители: \[ (2x-2)^2(x-2) - (2x-2)(x-2)^2 = 0 \Rightarrow (2x-2)(x-2)(2x-2 - (x-2)) = 0. \] Сокращая: \[ (2x-2)(x-2)x = 0 \Rightarrow x = 1, \; x = 2, \; x = 0. \] Ответ: \(0, \;1, \;2\).
   2. \(\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2+x}\)
      Решение: Приведем к общему знаменателю \(x(x+1)\): \[ \frac{x^2 - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} \Rightarrow x^2 -x -1 =1 \Rightarrow x^2 -x -2 =0. \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = 2 \text{ или } -1. \] Исключая \(x=-1\), получаем \(x=2\).
      Ответ: \(2\).
   
   
   
3. Постройте график функции \[ y = \frac{x^2 - x -2}{x^2 -3x +2}. \] Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ y = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-1}, \; x \neq 2. \] График – гипербола \(y=\frac{x+1}{x-1}\) с выколотой точкой \((2, 3)\).
   Ответ: График построен.
   
   
4. Два бегуна стартовали на круговой трассе. Скорость первого на \(6\) км/ч меньше второго. Через час первому оставалось \(1\) км до круга. Второй завершил круг \(15\) минут назад. Найти скорость первого.
   Решение: Пусть \(v\) км/ч – скорость первого. Тогда длина круга \(L = v +1\). Второй пробежал круг за \(0{,}75\) ч со скоростью \(v +6\): \[ v +1 = 0{,}75(v +6) \Rightarrow v =14. \] Ответ: \(14\) км/ч.
   
   
5. 1. Найти значения \(ab\) при \(a \in [-7;11],\; b \in [-13;4]\).
      Решение: Максимум \(ab =91\) (\(a=-7, \; b=-13\)), минимум \(ab=-143\) (\(a=11, \; b=-13\)).
      Ответ: \(ab \in [-143; 91]\).
   2. Решить неравенство \(x^2 -1 \ge 2|x-1|\).
      Решение: Рассмотрим случаи: \[ \begin{cases} x \ge1: \; x^2 -1 \ge2(x -1) \Rightarrow (x -1)^2 \ge0 \Rightarrow x \ge1, \\ x <1: \; x^2 -1 \ge2(1 -x) \Rightarrow x^2 +2x -3 \ge0 \Rightarrow x \le-3. \end{cases} \] Ответ: \(x \le-3\) или \(x \ge1\).
   
   
   
6. Найти \(a\), при которых уравнение \((2a-5)x^2 -2(a-1)x +3 =0\) имеет один корень.
   Решение:
   • Квадратное уравнение: \((2a-5) \neq0\), \(D=0\): \((a-4)^2=0 \Rightarrow a=4\).
   • Линейное: \(2a-5=0 \Rightarrow a=2{,}5\).
   Ответ: \(a=4\) или \(a=2{,}5\).
   
   
7. Высота треугольника делит гипотенузу на отрезки \(5\) и \(20\).
   Решение: Гипотенуза \(25\). Высота \(h = \sqrt{5 \cdot 20} =10\). Катеты \(5\sqrt{5}\), \(10\sqrt{5}\). Площадь \(125\).
   Ответ: Катеты \(5\sqrt{5}\) и \(10\sqrt{5}\), площадь \(125\).
   
   
8. Пятиугольник вписан в окружность. Угол \(150^\circ\), три равные стороны. Найти угол между ними.
   Решение: Сумма углов \(540^\circ\). Оставшиеся углы: \(390^\circ\). Предположим равные дуги: \(130^\circ\). Углы между сторонами: дуги \(\frac{130}{2}=65^\circ\).
   Ответ: \(65^\circ\) (требуется уточнение).
   
   
9. Доказательство для равнобедренной трапеции.
   Решение: Проведя высоты, большая основа делится на отрезки \(\frac{AD - BC}{2}\) и \(\frac{AD + BC}{2}\).
   Утверждение доказано.
   
   
10. Значение выражения \(\frac{a^n -5n +4}{n -2}\) целое.
    Решение: При \(n=3\) выражение \(\frac{a^3 -11}{1}\) целое при любом \(a\). Общий ответ требует уточнения условий.