8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 4 сентября 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 09.2021
СкачатьПечать
youit.school ©
\Large{«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы}\\ \large{2021}\\ \large{04.09.2021} \begin{enumerate} \item При каких значениях параметра \(k\) уравнение \[ \frac{(k - 1)x^2 + 6x - 2}{x - 1} = 0 \] имеет единственное решение? \item Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x + 2| \ge |x - 3| + x \\ (x - 2)(x^2 - 10x + 25) \le 0 \end{cases} \] \item Упростите выражение: \[ \left( \frac{a^2b^3 + \dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} + \dfrac{a}{b^2}} \right) : (b - a)^2 + \frac{4ab}{\dfrac{1 + b}{a}} \] \item Постройте график функции: \[ y = x^0 \cdot \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x + 1} \] \item В лицее им. Эйнштейна практикуется СТОбалльная система оценивания (оценки — целые числа). Все ученики восьмых классов за итоговую контрольную работу по физике получили разное количество баллов. Чтобы не проводить пересдачу, учитель решил: — кому-то приписать к оценке тройку, — у кого-то в оценке единицу исправить на четвёрку, — у кого-то ничего не менять. \begin{enumerate} \item[А)] Могла ли сумма баллов в результате «пересдачи» увеличиться на 700? \item[Б)] Могла ли она увеличиться на 762? \end{enumerate} \item Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из \(B\) в \(A\) выехал велосипедист, ехавший со скоростью на 11 км/ч больше пешехода. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что они встретились в 5 км от пункта \(A\). \item В трапеции \(ABCD\) основания \(AD = 12\), \(BC = 8\). На продолжении стороны \(BC\) выбрана точка \(M\), такая что \(CM = 2{,}4\). В каком отношении прямая \(AM\) делит площадь трапеции \(ABCD\)? \item Окружность, вписанная в ромб \(ABCD\), касается сторон \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(P\) соответственно, причём \(MP = BP\). Найдите периметр ромба, если радиус окружности равен \(\sqrt{3}\). \end{enumerate}
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. При каких значениях параметра \(k\) уравнение \[ \frac{(k - 1)x^2 + 6x - 2}{x - 1} = 0 \] имеет единственное решение? Решение:
    1. Исключим корень знаменателя: \(x \neq 1\).
    2. Рассмотрим уравнение числителя: \((k-1)x^2 + 6x -2 = 0\).
    3. Случай \(k = 1\): уравнение становится линейным: \(6x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\), который не равен 1. Уравнение имеет 1 решение.
    4. Случай \(k \neq 1\): квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = 36 + 8(k-1) = 8(k + 3,5) \]
    5. Если \(D > 0\) (\(k > -3,5\)): два корня. Проверим, не равен ли один из них 1: \[ (k-1) \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 -2 = k + 3 = 0 \Rightarrow k = -3 \] При \(k = -3\): уравнение \(-4x^2 +6x -2=0\). Корни: \(x = 0,5\) и \(x = 1\) (последний исключаем). Остается одно решение.
    6. Если \(D = 0\) (\(k = -3,5\)): уникальный корень: \[ x = \frac{-6}{2(k-1)} = \frac{-6}{2 \cdot (-4,5)} = \frac{2}{3} \neq 1 \]
    Ответ: \(k = 1\); \(k = -3\); \(k = -3,5\).

  2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} |x + 2| \ge |x - 3| + x \\ (x - 2)(x^2 - 10x + 25) \le 0 \end{cases} \] Решение:
    1. Первое неравенство: Разобьем на интервалы по точкам \(x = -2\) и \(x = 3\):
      • \(x < -2\): \( -x-2 \ge -x +3 + x \Rightarrow x \le -5\). Решение: \(x \le -5\).
      • \(-2 \le x < 3\): \(x + 2 \ge -x +3 +x \Rightarrow x \ge 1\). Пересечение с интервалом: \(1 \le x <3\).
      • \(x \ge 3\): \(x + 2 \ge x -3 +x \Rightarrow 5 \ge x\). Пересечение: \(3 \le x \le5\).
      Общее решение первого неравенства: \(x \le -5\) или \(1 \le x \le5\).
    2. Второе неравенство: \[ (x - 2)(x -5)^2 \le 0 \Rightarrow x \le 2 \text{ или } x =5 \]
    3. Пересечение решений: \(x \le -5\) или \(1 \le x \le2\) или \(x =5\).
    Ответ: \(x \in (-\infty; -5] \cup [1; 2] \cup \{5\}\).
  3. Упростите выражение: \[ \left( \frac{a^2b^3 + \dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} + \dfrac{a}{b^2}} \right) : (b - a)^2 + \frac{4ab}{\dfrac{1 + b}{a}} \] Решение:
    1. Упростим первую дробь: \[ \frac{a \left(a^3b^3 + 1\right)}{\dfrac{b^2 - ab +a^2}{b^2}} = \frac{a(a^3b^3 +1) \cdot b^2}{b^2 -ab +a^2} = \frac{a b^2(a^3b^3 +1)}{a^2 -ab +b^2} \]
    2. Вторая часть: \[ \frac{4ab}{\dfrac{1 + b}{a}} = 4a^2b \]
    3. Итоговое выражение: \[ \frac{a b^2(a^3b^3 +1)}{(a^2 -ab +b^2)(b -a)^2} + 4a^2b \]
    Ответ: \( \frac{a b^2(a^3b^3 +1)}{(a - b)^2(a^2 -ab +b^2)} + 4a^2b \).
  4. Постройте график функции: \[ y = \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x + 1} \] Решение:
    1. Область определения: \[ x^2 - x \ge0 \Rightarrow x \le0 \text{ или } x\ge1;\quad x \neq -1 \]
    2. Упростим: \[ y = \frac{\sqrt{x(x-1)}}{x+1} \]
    3. Особые точки:
      • Вертикальная асимптота: \(x = -1\).
      • Поведение на бесконечности: при \(x \to \infty\) \(y \to \frac{x}{x} =1\).
    График имеет две ветви: левую (\(x \le0\)) и правую (\(x \ge1\)), разрыв при \(x=-1\).
  5. Могла ли сумма баллов увеличиться на 700 или 762? Решение:
    1. [А)] Невозможно: сумма модификаций \(30m +3k =700\) приводит к противоречию \(10m +k =233{,}(3)\), что невозможно для целых \(m,k\).
    2. [Б)] Возможно: \(30m +3k =762 \Rightarrow10m +k=254\). Например, \(m=25\), \(k=4\): \(25 \cdot30 +4 \cdot3=762\).
    Ответ: А) Нет; Б) Да.
  6. Найдите скорость велосипедиста. Решение: Пусть \(x\) — скорость пешехода (км/ч), тогда велосипедиста \(x +11\). Время до встречи для пешехода: \(\frac{5}{x}\), для велосипедиста: \(\frac{8}{x +11}\). Уравнение: \[ \frac{5}{x} - \frac{8}{x +11} = 0,5 \Rightarrow x=5 \text{ км/ч (пешеход)}, \quad x +11 =16 \text{ км/ч (велосипедист)} \] Ответ: 16 км/ч.
  7. В каком отношении прямая \(AM\) делит площадь трапеции? Решение:
    1. Площадь трапеции: \(S = \frac{12 +8}{2} \cdot h =10h\).
    2. Продолжение \(BC\) с \(CM =2,4\): \(BM=10,4\).
    3. Точка пересечения \(AM\) с \(CD\) делит площадь пропорционально основаниям. Отношение площадей \(S_1:S_2 = 7:3\).
    Ответ: \(7:3\).
  8. Найдите периметр ромба. Решение:
    1. Касательные отрезки равны: \(BP=PM=BM\).
    2. Радиус вписанной окружности \(r =\sqrt{3}\).
    3. Периметр \(P=4a\), где \(a\) — сторона ромба. Из свойств ромба и окружности: \[ a = \frac{r}{\sin\alpha}, \quad \alpha =60^\circ \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{\sin60^\circ} =2 \Rightarrow P=8\sqrt{3} \]
    Ответ: \(8\sqrt{3}\).
Материалы школы Юайти