«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 23 апреля 2022 год

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы

2022

23.04.2022

1. Известно, что пара чисел \((-2; -2)\) является решением уравнения \[ x^2 - y^2 - ay = 12. \] Найдите значение числа \(a\) и другие пары целых чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению (если они есть).
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{7x^2 - 9x + 9}{2x - 3} \ge 4x - 1. \]
   
   
3. Решите уравнение: \[ x^4 - 8x^3 + 15x^2 - 10x - 25 = 0. \]
   
   
4. Назовём число \(A\) числом-палиндромом, если оно одинаково читается как справа налево, так и слева направо. У Васи есть карточки, на которых написаны все двузначные числа. Сколько шестизначных чисел-палиндромов может составить Вася при помощи этих карточек? (Число не может начинаться с нуля.)
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное уравнением: \[ |y| = \left| x^2 - \frac{3}{2}x - 1 \right|. \]
   
   
6. В ромбе \(ABCD\) со стороной 10 одна из его диагоналей в два раза больше другой. Внутри ромба взяли точку \(M\), такую что она равноудалена от всех его сторон. Пусть \(MF\) — отрезок, длина которого есть расстояние от точки \(M\) до стороны ромба \(AB\). Найдите длину отрезка \(MF\) и в каком отношении точка \(F\) делит сторону \(AB\).

Решения задач

1. Известно, что пара чисел \((-2; -2)\) является решением уравнения \[ x^2 - y^2 - ay = 12. \] Найдите значение числа \(a\) и другие пары целых чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению (если они есть).
   Решение: Подставим \((-2; -2)\) в уравнение: \[ (-2)^2 - (-2)^2 - a(-2) = 12 \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6. \] Уравнение принимает вид: \[ x^2 - y^2 - 6y = 12 \Rightarrow x^2 = (y + 3)^2 + 3. \] Разность квадратов: \[ x^2 - (y + 3)^2 = 3 \Rightarrow (x - y - 3)(x + y + 3) = 3. \] Учитывая целочисленные делители 3, получаем:
   • \(x - y - 3 = 1\), \(x + y + 3 = 3\) \(\Rightarrow x = 2\), \(y = -2\).
   • Аналогичные подстановки других делителей не дают целочисленных решений.
   
   Ответ: \(a = 6\), других целых решений нет.
2. Решите неравенство: \[ \frac{7x^2 - 9x + 9}{2x - 3} \ge 4x - 1. \]
   Решение: Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{7x^2 - 9x + 9 - (4x - 1)(2x - 3)}{2x - 3} \ge 0. \] Упростим числитель: \[ -x^2 + 5x + 6 = -(x^2 - 5x - 6) = -(x - 6)(x + 1). \] Получаем неравенство: \[ \frac{-(x - 6)(x + 1)}{2x - 3} \ge 0. \] Критические точки: \(x = -1\), \(x = 1.5\), \(x = 6\).
   Интервалы знакопостоянства:
   • \(x < -1\): \(+\),
   • \(-1 \le x < 1.5\): \(+\),
   • \(1.5 < x < 6\): \(-\),
   • \(x > 6\): \(-\).
   Учитывая неравенство ≥0 и проверку точек: \[ x \in [-1; 1.5) \cup [6; +\infty). \] Ответ: \(x \in [-1; 1.5) \cup [6; +\infty)\).
   
   
3. Решите уравнение: \[ x^4 - 8x^3 + 15x^2 - 10x - 25 = 0. \]
   Решение: Представим уравнение в виде произведения многочленов: \[ (x^2 - 5x - 5)(x^2 - 3x + 5) = 0. \] Решаем квадратные уравнения:
   • \(x^2 - 5x - 5 = 0\): \[ x = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}. \]
   • \(x^2 - 3x + 5 = 0\): Корней нет.
   Ответ: \(x = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}\).
4. Назовём число \(A\) числом-палиндромом, если оно одинаково читается как справа налево, так и слева направо. У Васи есть карточки, на которых написаны все двузначные числа. Сколько шестизначных чисел-палиндромов может составить Вася при помощи этих карточек?
   Решение: Шестизначный палиндром имеет структуру \(ABC CBA\), где \(A\), \(B\), \(C\) — цифры. Для формирования числа:
   • AB и BA — двузначные числа (карточки), причём \(A \ne 0\) и \(B \ne 0\).
   • CC — двузначное число с одинаковыми цифрами (9 вариантов).
   Количество возможных пар AB: \(9 \times 9 = 81\) (A, B от 1 до 9).
   Всего палиндромов: \(81 \times 9 = 729\). Ответ: 729.
5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное уравнением: \[ |y| = \left| x^2 - \frac{3}{2}x - 1 \right|. \]
   Решение: Уравнение равносильно: \[ y = \pm \left( x^2 - \frac{3}{2}x - 1 \right). \] Это объединение двух парабол: ветви вверх (\(y = x^2 - \frac{3}{2}x - 1\)) и вниз (\(y = -x^2 + \frac{3}{2}x + 1\)). График состоит из этих двух парабол, симметричных относительно оси OX.
6. В ромбе \(ABCD\) со стороной 10 одна из диагоналей в два раза длиннее другой. Внутри ромба взяли точку \(M\), равноудалённую от всех сторон. Найдите длину отрезка \(MF\) (расстояние до стороны \(AB\)) и отношение \(AF:FB\).
   Решение: Пусть диагонали \(AC = 8\sqrt{5}\), \(BD = 4\sqrt{5}\). Расстояние от центра \(M\) (центр вписанной окружности) до стороны \(AB\): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{80}{20} = 4 \ (\text{где } S = 80, p = 20). \] Для отношения деления стороны \(AB\) точкой \(F\): используя координаты проекции центра на AB, получаем: \[ AF:FB = 4:1. \] Ответ: \(MF = 4\), \(AF:FB = 4:1\).