«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2023 год

1. Постройте график функции \[ y = \frac{3x^2 - 8x + 4}{\lvert 2x - 2\rvert - x}. \]
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{3}{4 - x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3 - x}. \]
   
   
3. Найдите все значения \(x\), при которых прямая \(y = 2x - 1\) расположена не ниже параболы \(y = 3x^2 - x\).
   
   
4. Имеется два одинаковых бака. При совместной работе двух насосов один бак наполняется водой за 3 часа 36 минут. За сколько времени наполнится каждый бак, если к нему подведен только первый насос и с помощью второго насоса бак наполняется на 3 часа быстрее, чем с помощью первого?
   
   
5. Не решая уравнения \(2x^2 - 7x - 2 = 0\), составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого будут взаимо обратными с корнями первоначального уравнения.
   
   
6. Найдите уравнения всех прямых, проходящих через начало координат и имеющих с параболой \(y = x^2 - 6x + 16\) ровно одну общую точку.
   
   
7. Две окружности касаются внешним образом в точке \(K\). \(M\) и \(N\) – точки касания общей внешней касательной к окружностям. Докажите, что \(MK \perp NK\).
   
   
8. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) высота \(BH\) разделена точкой \(K\) в отношении \(3:1\), считая от вершины. В каком отношении луч \(AK\) делит сторону \(BC\)?
   
   
9. На катетах длины 3 и 7 прямоугольного треугольника как на диаметрах построили две окружности. Найдите длину их общей хорды.
   
   
10. Точка \(P\) – середина стороны \(AB\) параллелограмма \(ABCD\). \(T\) – точка пересечения \(CP\) и \(BD\). Найдите \(CT : TP\) и \(BT : TD\).

Решения задач

1. Постройте график функции \[ y = \frac{3x^2 - 8x + 4}{\lvert 2x - 2\rvert - x}. \] Решение: Упростим выражение:
   • Для \(x \geq 1\): \(|2x - 2| = 2x - 2\). Тогда \(y = \frac{(3x-2)(x-2)}{x - 2} = 3x - 2\), \(x \neq 2\).
   • Для \(x < 1\): \(|2x - 2| = -2x + 2\). Тогда \(y = \frac{(3x-2)(x-2)}{-3x + 2} = -x + 2\), \(x \neq \frac{2}{3}\).
   График состоит из двух прямых:
   • \(y = 3x - 2\) для \(x \geq 1\) с выколотой точкой \((2, 4)\).
   • \(y = -x + 2\) для \(x < 1\) с выколотой точкой \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\).
   Ответ: график представлен двумя линиями с разрывами в \(x = 2\) и \(x = \frac{2}{3}\).
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{3}{4 - x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3 - x}. \] Решение: Приведем к общему знаменателю \(x(4 - x)(3 - x)\): \[ 3x(3 - x) - 5(4 - x)(3 - x) = 7x(4 - x). \] Упростим: \[ 9x - 3x^2 - 60 + 35x - 5x^2 = 28x - 7x^2. \] После упрощения получим: \[ x^2 - 16x + 60 = 0 \implies x = 10 \text{ или } x = 6. \] Оба корня подходят.
   Ответ: \(x = 10\), \(x = 6\).
   
   
3. Найдите все значения \(x\), при которых прямая \(y = 2x - 1\) расположена не ниже параболы \(y = 3x^2 - x\).
   Решение: Неравенство: \(2x - 1 \geq 3x^2 - x \implies3x^2 - 3x + 1 \leq 0\).
   Дискриминант \(D = (-3)^2 - 12 = -3 < 0\), значит, нет действительных корней.
   Ответ: решений нет.
   
   
4. Два насоса вместе наполняют бак за 3 ч 36 мин. Второй насос работает на 3 ч быстрее первого.
   Решение: Пусть первый насос наполняет бак за \(t\) часов. Тогда второй — за \(t - 3\) часов.
   Уравнение совместной работы: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t - 3} = \frac{5}{18}. \] Решение: \(t = 9\) ч (первый насос), \(t - 3 = 6\) ч (второй насос).
   Ответ: 9 ч и 6 ч.
   
   
5. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого обратны корням \(2x^2 - 7x - 2 = 0\).
   Решение: Новые корни: \(\frac{1}{\alpha}\) и \(\frac{1}{\beta}\).
   По теореме Виета: \[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{7}{2}, \quad \frac{1}{\alpha\beta} = -1. \] Уравнение: \(2x^2 + 7x - 2 = 0\).
   Ответ: \(2x^2 + 7x - 2 = 0\).
   
   
6. Найдите уравнения прямых через начало координат, имеющих ровно одну общую точку с параболой \(y = x^2 - 6x + 16\).
   Решение: Условие: \(kx = x^2 - 6x + 16 \implies x^2 - (k + 6)x + 16 = 0\).
   Дискриминант равен нулю: \[ (k + 6)^2 - 64 = 0 \implies k = 2 \text{ или } k = -14. \] Ответ: \(y = 2x\) и \(y = -14x\).
   
   
7. Докажите, что \(MK \perp NK\) для внешне касающихся окружностей.
   Решение: Используя свойства общей внешней касательной и радиуса, перпендикулярного касательной, доказывается, что треугольники \(MKO_1\) и \(NKO_2\) прямоугольные. Тогда углы \(MKO\) и \(NKO\) образуют прямой угол.
   
   
8. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) точка \(K\) делит высоту \(BH\) в отношении \(3:1\).
   Решение: Координатный метод: \(AK\) делит \(BC\) в соотношении \(3:2\).
   Ответ: \(BT:TC = 3:2\).
   
   
9. Длина общей хорды окружностей, построенных на катетах 3 и 7.
   Решение: Общая хорда находится через пересечение окружностей.
   Ответ: \(\frac{21\sqrt{58}}{58}\).
   
   
10. Точка \(P\) — середина стороны \(AB\) в параллелограмме \(ABCD\).
    Решение: Используя параметрические уравнения для линий \(CP\) и \(BD\), находим отношение \(CT:TP = 2:1\), \(BT:TD = 1:2\).
    Ответ: \(CT:TP = 2:1\), \(BT:TD = 1:2\).