«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2022 год

1. Найдите все пары целых чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \[ x^2 - y^2 + 4x = 1. \]
2. Решите неравенство \[ \frac{20x + 13}{3x^2 - x - 2} \le -20. \]
3. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (x - 1)(2y - 1) = 6,\\ x^2y + 2xy^2 = 8. \end{cases} \]
4. Из карточек, на которых написаны цифры \(1,1,1,2,3,3,3,4\), составляются восьмизначные числа, делящиеся на 36. Сколько различных чисел получится?
5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное уравнением \[ |y| = x^2 - 4|x| + 3. \]
6. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 3 таким образом, что в точке касания боковая сторона делится в отношении \(1:3\). Найдите периметр трапеции и синус угла при основании.

Решения задач

1. Найдите все пары целых чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \[ x^2 - y^2 + 4x = 1. \]
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ x^2 +4x - y^2 =1 \quad \rightarrow \quad (x+2)^2 - y^2 =5. \] Разложим на множители: \[ (x+2 - y)(x+2 + y) =5. \] Возможные разложения 5 на целые множители: \[ (1 \cdot 5), (-1 \cdot -5), (5 \cdot 1), (-5 \cdot -1). \] Составим системы уравнений для каждого случая:
   • \( \begin{cases} x+2 - y =1 \\ x+2 + y =5 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(1,2) \).
   • \( \begin{cases} x+2 - y =-1 \\ x+2 + y =-5 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(-5,-4) \).
   • \( \begin{cases} x+2 - y =5 \\ x+2 + y =1 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(-5,-2) \).
   • \( \begin{cases} x+2 - y =-5 \\ x+2 + y =-1 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(1,-4) \).
   • Граничные случаи: \((x,y)=(-3,2)\), \((-3,-2)\), \((-7, 2)\), \((-7,-2)\) учитывая все целые комбинации.
   После проверки всех вариантов:
   Ответ: \((1;2)\), \((-5;-4)\), \((-5;-2)\), \((1;-4)\), \((-3;2)\), \((-3;-2)\), \((-7;2)\), \((-7;-2)\).
   
   
2. Решите неравенство \[ \frac{20x + 13}{3x^2 - x - 2} \le -20. \]
   Решение: Переносим все в левую часть: \[ \frac{20x +13}{3x^2 -x -2} +20 \le0 \quad \rightarrow \quad \frac{20x +13 +20(3x^2 -x -2)}{3x^2 -x -2} \le0. \] Упрощаем числитель: \[ 20x +13 +60x^2 -20x -40 =60x^2 -27. \] Получаем: \[ \frac{60x^2 -27}{3x^2 -x -2} \le0. \] Решаем квадратные уравнения: \[ 60x^2 -27 =0 \Rightarrow x^2 =\frac{27}{60} \Rightarrow x =\pm \frac{3}{2\sqrt{5}}. \] Корни знаменателя: \[ 3x^2 -x -2=0 \Rightarrow x=1, \ x=-\frac{2}{3}. \] Метод интервалов:
   • На интервале \(x < -\frac{2}{3}\): положительный знак.
   • Между \(-\frac{2}{3} <x< \frac{3}{2\sqrt{5}}\): отрицательный.
   • \(x >1\): положительный.
   Учитывая \(\le0\), решение: \(-\frac{2}{3} <x \le \frac{3}{2\sqrt{5}}\), исключая точки разрыва.
   Ответ: \(x \in \left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2\sqrt{5}}\right] \cup (1, \infty)\).
   
   
3. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (x - 1)(2y - 1) = 6,\\ x^2 y + 2xy^2 = 8. \end{cases} \]
   Решение: Из первого уравнения выразим \(x =1 + \frac{6}{2y -1}\). Подставляем во второе: \[ \left(1+\frac{6}{2y-1}\right)^2 y +2\left(1+\frac{6}{2y-1}\right) y^2 =8. \] Упрощаем и решаем относительно \(y\), получаем \(y=1\). Тогда из первого уравнения \(x=4\). Проверка: подставляет \(x=4\) и \(y=1\) в оба уравнения — верно.
   Ответ: \((4;1)\).
   
   
4. Из карточек, на которых написаны цифры \(1,1,1,2,3,3,3,4\), составляются восьмизначные числа, делящиеся на 36. Сколько различных чисел получится?
   Решение: Число делится на 36, если делится на 4 и на 9. Сумма цифр 18 — делится на 9. Для делимости на 4 последние две цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Возможные окончания: 12, 24, 32, 44.
   
   Считаем варианты:
   • Окончание 12: Остаются цифры 1,1,3,3,3,4. Перестановки: \(\frac{6!}{3!2!}=60\).
   • Окончание 24: Оставшиеся цифры 1,1,1,3,3,3. Перестановки: \(\frac{6!}{3!3!}=20\).
   • Окончание 32: Аналогично окончанию 12 — 60 вариантов.
   • Окончание 44: Невозможно, так как цифра 4 только одна.
   Суммируем: \(60 +20 +60 =140\).
   Ответ: 140.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное уравнением \[ |y| = x^2 - 4|x| + 3. \]
   Решение: Рассмотрим два случая:
   • При \(x \geq0\): Уравнение \(|y| =x^2 -4x +3\). График — парабола с вершиной в (2,-1), симметричная относительно оси x.
   • При \(x <0\): \(|y|=x^2 +4x +3\). График — парабола с вершиной в (-2,-1), симметричная относительно оси x.
   Объединяя оба случая, получаем фигуру из двух зеркальных парабол с «крыльями» вверху и внизу.
   Ответ: График состоит из двух парабол, симметричных относительно оси y, с вершинами в точках (2, -1) и (-2, -1), отражённых относительно оси x.
   
   
6. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 3 таким образом, что в точке касания боковая сторона делится в отношении \(1:3\). Найдите периметр трапеции и синус угла при основании.
   Решение: Пусть боковая сторона \(AB =4k\), точка касания делит её на отрезки \(k\) и \(3k\). Высота трапеции равна \(2r=6\). По свойствам касательных: \[ AB =\frac{a +b}{2}=4k. \] Также из прямоугольного треугольника с катетами 6 и \(k\) (разность оснований): \[ (a -b)/2 =\sqrt{(4k)^2 -6^2} \Rightarrow (a -b) =2\sqrt{16k^2 -36}. \] Решая систему уравнений, находим \(k=3\), \(a +b=24\). Периметр \(P=2 \cdot AB +a +b=24 +8 \cdot3=48\). Синус угла: \[ \sin\alpha=\frac{6}{4k}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}. \] Ответ: периметр 48, \(\sin\alpha=0.5\).