8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2020 год

Сложность:
Дата экзамена: 2020

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы


2020




  1. Сократите дробь: \[ \dfrac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2} \]

  2. Упростите выражение: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} + \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2} \]

  3. Решите уравнения:
    1. \[ \dfrac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{1}{x - 1} \]
    2. \[ f(x + 2) = f(x - 2) + 4, \quad \text{если } f(x) = 3 + 2x + x^2 \]


  4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x - 7) < 0 \]

  5. Не вычисляя корней уравнения \(3x^2 + 8x - 1 = 0\), найдите значение выражения: \[ x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 \]

  6. Решите задачу. В одном фермерском хозяйстве урожайность пшеницы с 1 га была на 3 ц выше, чем в другом. В результате во втором хозяйстве собрали на 95 ц пшеницы меньше, чем в первом, хотя под пшеницу было отведено на 5 га больше. Какова была урожайность пшеницы в каждом хозяйстве, если во втором всего было 1400 ц пшеницы?

  7. Известно, что при делении на 7 число \(a\) даёт остаток 2. Какой остаток получится при делении на 7 числа \(2a^2 - 3a + 4\)?

  8. Углы \(BAD\) и \(BCE\) — внешние углы треугольника \(ABC\). Из вершины \(B\) проведены перпендикуляры \(BM\) и \(BK\) к биссектрисам углов \(BAD\) и \(BCE\) соответственно. Найдите отрезок \(MK\), если периметр треугольника \(ABC\) равен 18 см.

  9. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.

  10. Отрезок \(AK\) — биссектриса треугольника \(ABC\), \(AB = 12\) см, \(BK = 8\) см, \(CK = 18\) см. Найдите сторону \(AC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите дробь: \[ \dfrac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2} \] Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
    Числитель: $4a^2 + a - 3 = (4a - 3)(a + 1)$
    Знаменатель: $a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1)$
    Сокращаем общий множитель $(a + 1)$: \[ \dfrac{(4a - 3)\cancel{(a + 1)}}{(a - 2)\cancel{(a + 1)}} = \dfrac{4a - 3}{a - 2} \] Ответ: $\dfrac{4a - 3}{a - 2}$.

  2. Упростите выражение: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} + \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2} \] Решение: Раскроем модули, учитывая знаки выражений:
    $\sqrt{15} \approx 3.87$, значит $\sqrt{15} - 4 0$:
    $|\sqrt{15} - 4| + |\sqrt{15} - 3| = (4 - \sqrt{15}) + (\sqrt{15} - 3) = 1$
    Ответ: 1.

  3. Решите уравнения:
    1. \[ \dfrac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{1}{x - 1} \] Решение: Разложим знаменатели на множители:
      $x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2)$
      $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$
      Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)(x-7)$:
      $\dfrac{(2x - 7)(x - 1) - (x - 7)}{(x-1)(x-2)(x-7)} = \dfrac{(x - 7)}{(x-1)(x-2)(x-7)}$
      После упрощения получим $x = 6$
      Проверка корней: $x = 6$ не обращает знаменатели в ноль.
      Ответ: 6.

    2. \[ f(x + 2) = f(x - 2) + 4, \quad \text{если } f(x) = 3 + 2x + x^2 \] Решение: Подставим $f(x)$ в уравнение:
      $3 + 2(x+2) + (x+2)^2 = 3 + 2(x-2) + (x-2)^2 + 4$
      Упростим левую и правую части:
      $x^2 + 6x + 11 = x^2 - 2x + 3$
      Решение не зависит от $x$, что означает тождественное равенство.
      Ответ: Уравнение верно для всех действительных $x$.


  4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x - 7) < 0 \] Решение: Так как $3 - \sqrt{10} \approx -0.16 < 0$, неравенство равносильно:
    $2x - 7 > 0 \implies x > 3.5$
    Ответ: $x > 3.5$ или $x \in \left(\dfrac{7}{2}, +\infty\right)$.

  5. Найдите значение выражения: \[ x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 \] Решение: Используем теорему Виета для уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$:
    $x_1 + x_2 = -\dfrac{8}{3}$, $x_1 x_2 = -\dfrac{1}{3}$
    Преобразуем выражение:
    $x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1 x_2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2] = -\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{64}{9} + \dfrac{2}{3}\right] = -\dfrac{70}{27}$
    Ответ: $-\dfrac{70}{27}$.

  6. Решите задачу:
    Пусть урожайность во втором хозяйстве $x$ ц/га, тогда в первом $x + 3$ ц/га. Площадь первого хозяйства $S$ га, второго $S + 5$ га. Составим систему:
    $\begin{cases} (x + 3)S - x(S + 5) = 95 \\ x(S + 5) = 1400 \end{cases}$
    Решение: Из второго уравнения $S = \dfrac{1400}{x} - 5$. Подставим в первое:
    $-5x + 3\left(\dfrac{1400}{x} - 5\right) = 95 \implies x = 20$
    Урожайность: 23 ц/га и 20 ц/га.
    Ответ: 23 ц/га и 20 ц/га.

  7. Найдите остаток от деления $2a^2 - 3a + 4$ на 7:
    Решение: Так как $a \equiv 2 \mod 7$, подставим $a = 7k + 2$:
    $2(49k^2 + 28k + 4) - 3(7k + 2) + 4 = 98k^2 + 47k + 2 \equiv 2 \mod 7$
    Ответ: 2.

  8. Найдите отрезок MK:
    Решение: Биссектрисы внешних углов образуют углы $45^\circ$ с продолжениями сторон. Отрезки MK проекций на эти биссектрисы равны половине периметра.
    Ответ: $MK = 9$ см.

  9. Найдите основания трапеции:
    Решение: Пусть меньшее основание $a$, большее $b$. Периметр $2(a + b + 10) = 56 \implies a + b = 18$. Из свойств вписанной окружности: $a + b = 2 \cdot 10 \implies a = 6$ см, $b = 12$ см.
    Ответ: 6 см и 12 см.

  10. Найдите сторону AC:
    Решение: Используем теорему о биссектрисе: $\dfrac{AB}{BK} = \dfrac{AC}{CK} \implies \dfrac{12}{8} = \dfrac{AC}{18} \implies AC = 27$ см.
    Ответ: 27 см.
Материалы школы Юайти