«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2020 год

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы

2020

1. Сократите дробь: \[ \dfrac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2} \]
   
   
2. Упростите выражение: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} + \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2} \]
   
   
3. Решите уравнения:
   1. \[ \dfrac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{1}{x - 1} \]
   2. \[ f(x + 2) = f(x - 2) + 4, \quad \text{если } f(x) = 3 + 2x + x^2 \]
   
   
   
4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x - 7) < 0 \]
   
   
5. Не вычисляя корней уравнения \(3x^2 + 8x - 1 = 0\), найдите значение выражения: \[ x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 \]
   
   
6. Решите задачу. В одном фермерском хозяйстве урожайность пшеницы с 1 га была на 3 ц выше, чем в другом. В результате во втором хозяйстве собрали на 95 ц пшеницы меньше, чем в первом, хотя под пшеницу было отведено на 5 га больше. Какова была урожайность пшеницы в каждом хозяйстве, если во втором всего было 1400 ц пшеницы?
   
   
7. Известно, что при делении на 7 число \(a\) даёт остаток 2. Какой остаток получится при делении на 7 числа \(2a^2 - 3a + 4\)?
   
   
8. Углы \(BAD\) и \(BCE\) — внешние углы треугольника \(ABC\). Из вершины \(B\) проведены перпендикуляры \(BM\) и \(BK\) к биссектрисам углов \(BAD\) и \(BCE\) соответственно. Найдите отрезок \(MK\), если периметр треугольника \(ABC\) равен 18 см.
   
   
9. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.
   
   
10. Отрезок \(AK\) — биссектриса треугольника \(ABC\), \(AB = 12\) см, \(BK = 8\) см, \(CK = 18\) см. Найдите сторону \(AC\).

\Large{Решения задач} \begin{enumerate} \item Сократите дробь: \[ \dfrac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2} \] Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители: \\ Числитель: $4a^2 + a - 3 = (4a - 3)(a + 1)$ \\ Знаменатель: $a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1)$ \\ Сокращаем общий множитель $(a + 1)$: \[ \dfrac{(4a - 3)\cancel{(a + 1)}}{(a - 2)\cancel{(a + 1)}} = \dfrac{4a - 3}{a - 2} \] Ответ: $\dfrac{4a - 3}{a - 2}$. \item Упростите выражение: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} + \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2} \] Решение: Раскроем модули, учитывая знаки выражений: \\ $\sqrt{15} \approx 3.87$, значит $\sqrt{15} - 4 0$: \\ $|\sqrt{15} - 4| + |\sqrt{15} - 3| = (4 - \sqrt{15}) + (\sqrt{15} - 3) = 1$ \\ Ответ: 1. \item Решите уравнения: \begin{enumerate} \item \[ \dfrac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{1}{x - 1} \] Решение: Разложим знаменатели на множители: \\ $x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2)$ \\ $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ \\ Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)(x-7)$: \\ $\dfrac{(2x - 7)(x - 1) - (x - 7)}{(x-1)(x-2)(x-7)} = \dfrac{(x - 7)}{(x-1)(x-2)(x-7)}$ \\ После упрощения получим $x = 6$ \\ Проверка корней: $x = 6$ не обращает знаменатели в ноль. \\ Ответ: 6. \item \[ f(x + 2) = f(x - 2) + 4, \quad \text{если } f(x) = 3 + 2x + x^2 \] Решение: Подставим $f(x)$ в уравнение: \\ $3 + 2(x+2) + (x+2)^2 = 3 + 2(x-2) + (x-2)^2 + 4$ \\ Упростим левую и правую части: \\ $x^2 + 6x + 11 = x^2 - 2x + 3$ \\ Решение не зависит от $x$, что означает тождественное равенство. \\ Ответ: Уравнение верно для всех действительных $x$. \end{enumerate} \item Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x - 7) < 0 \] Решение: Так как $3 - \sqrt{10} \approx -0.16 0 \implies x > 3.5$ \\ Ответ: $x > 3.5$ или $x \in \left(\dfrac{7}{2}, +\infty\right)$. \item Найдите значение выражения: \[ x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 \] Решение: Используем теорему Виета для уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$: \\ $x_1 + x_2 = -\dfrac{8}{3}$, $x_1 x_2 = -\dfrac{1}{3}$ \\ Преобразуем выражение: \\ $x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1 x_2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2] = -\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{64}{9} + \dfrac{2}{3}\right] = -\dfrac{70}{27}$ \\ Ответ: $-\dfrac{70}{27}$. \item Решите задачу: \\ Пусть урожайность во втором хозяйстве $x$ ц/га, тогда в первом $x + 3$ ц/га. Площадь первого хозяйства $S$ га, второго $S + 5$ га. Составим систему: \\ $\begin{cases} (x + 3)S - x(S + 5) = 95 \\ x(S + 5) = 1400 \end{cases}$ \\ Решение: Из второго уравнения $S = \dfrac{1400}{x} - 5$. Подставим в первое: \\ $-5x + 3\left(\dfrac{1400}{x} - 5\right) = 95 \implies x = 20$ \\ Урожайность: 23 ц/га и 20 ц/га. \\ Ответ: 23 ц/га и 20 ц/га. \item Найдите остаток от деления $2a^2 - 3a + 4$ на 7: \\ Решение: Так как $a \equiv 2 \mod 7$, подставим $a = 7k + 2$: \\ $2(49k^2 + 28k + 4) - 3(7k + 2) + 4 = 98k^2 + 47k + 2 \equiv 2 \mod 7$ \\ Ответ: 2. \item Найдите отрезок MK: \\ Решение: Биссектрисы внешних углов образуют углы $45^\circ$ с продолжениями сторон. Отрезки MK проекций на эти биссектрисы равны половине периметра. \\ Ответ: $MK = 9$ см. \item Найдите основания трапеции: \\ Решение: Пусть меньшее основание $a$, большее $b$. Периметр $2(a + b + 10) = 56 \implies a + b = 18$. Из свойств вписанной окружности: $a + b = 2 \cdot 10 \implies a = 6$ см, $b = 12$ см. \\ Ответ: 6 см и 12 см. \item Найдите сторону AC: \\ Решение: Используем теорему о биссектрисе: $\dfrac{AB}{BK} = \dfrac{AC}{CK} \implies \dfrac{12}{8} = \dfrac{AC}{18} \implies AC = 27$ см. \\ Ответ: 27 см. \end{enumerate}