«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2019 год. Демоверсия

1. Сократите дробь: \[ \frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2}. \]
2. Упростите выражение: \[ \bigl(\sqrt{15-4}\bigr)^{2} \;+\;\bigl(\sqrt{15-3}\bigr)^{2}. \]
3. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} \;-\;\frac{1}{x^2 - 3x + 2} \;=\;\frac{1}{x - 1}. \]
4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x - 7) < 0. \]
5. Не вычисляя корней уравнения \(3x^2 + 8x - 1 = 0\), найдите: \[ x_1 x_2^3 \;+\; x_2 x_1^3. \]
6. Решите задачу. В одном фермерском хозяйстве урожайность пшеницы с 1 га была на 3 ц больше, чем в другом. В результате во втором хозяйстве собрали на 95 ц пшеницы меньше, чем в первом, хотя под пшеницу было отведено на 5 га больше. Какова была урожайность пшеницы в каждом хозяйстве, если известно, что во втором всего было 1400 ц пшеницы?
7. Найдите все \(n\in\mathbb{N}\), при которых значение функции \[ f(n) = \frac{n^3 - 3n + 4}{n - 1} \] является натуральным числом.
8. Углы \(BAD\) и \(BCE\) — внешние углы треугольника \(ABC\). Из вершины \(B\) проведены перпендикуляры \(BM\) и \(BK\) к биссектрисам углов \(BAD\) и \(BCE\) соответственно. Найдите отрезок \(MK\), если периметр треугольника \(ABC\) равен 18 см.
9. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.
10. Отрезок \(AK\) — биссектриса треугольника \(ABC\), \(AB=12\) см, \(BK=8\) см, \(CK=18\) см. Найдите сторону \(AC\).

Решения задач

1. Сократите дробь: \[ \frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2}. \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
   Числитель: $4a^2 + a - 3 = (4a - 3)(a + 1)$
   Знаменатель: $a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1)$
   Сократим дробь: \[ \frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 2)(a + 1)} = \frac{4a - 3}{a - 2} \]
   Ответ: $\dfrac{4a - 3}{a - 2}$.
   
   
2. Упростите выражение: \[ \bigl(\sqrt{15-4}\bigr)^{2} \;+\;\bigl(\sqrt{15-3}\bigr)^{2}. \]
   Решение: Поскольку $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем: \[ (\sqrt{11})^2 + (\sqrt{12})^2 = 11 + 12 = 23 \]
   Ответ: 23.
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} \;-\;\frac{1}{x^2 - 3x + 2} \;=\;\frac{1}{x - 1}. \]
   Решение: Разложим знаменатели на множители:
   $x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2)$
   $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$
   Уравнение примет вид: \[ \frac{2x - 7}{(x - 7)(x - 2)} - \frac{1}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} \]
   ОДЗ: $x \neq 7, 2, 1$. После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем:
   $(2x - 7)(x - 1) - (x - 7) = (x - 7)(x - 2)$
   $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0$
   С учётом ОДЗ: $x = 0$
   Ответ: 0.
   
   
4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x - 7) < 0. \]
   Решение: Так как $3 - \sqrt{10} < 0$, умножим обе части неравенства на $\frac{1}{3 - \sqrt{10}}$ с переменой знака:
   $2x - 7 > 0 \Rightarrow x > \frac{7}{2}$
   Ответ: $x > 3,5$.
   
   
5. Найдите: \[ x_1 x_2^3 \;+\; x_2 x_1^3. \] для уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$.
   Решение: По теореме Виета $x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$, $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$. Преобразуем выражение: \[ x_1x_2^3 + x_2x_1^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1x_2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2] \]
   Вычислим: \[ \left(-\frac{1}{3}\right)\left[\left(-\frac{64}{9}\right) - 2\left(-\frac{1}{3}\right)\right] = -\frac{70}{27} \]
   Ответ: $-\dfrac{70}{27}$.
   
   
6. Урожайность пшеницы в первом хозяйстве — 23 ц/га, во втором — 20 ц/га.
   Решение: Пусть урожайность первого хозяйства $x$ ц/га, второго $(x - 3)$ ц/га. Составим систему уравнений:
   $\begin{cases} \frac{1400 + 95}{x} = \frac{1400}{x - 3} - 5 \\ \end{cases}$
   Решая квадратное уравнение $x^2 + 16x - 897 = 0$, находим $x = 23$ ц/га.
   Ответ: 23 ц/га и 20 ц/га.
   
   
7. Натуральные $n = 2$ и $n = 3$.
   Решение: Преобразуем функцию: \[ \frac{n^3 - 3n + 4}{n - 1} = n^2 + n - 2 + \frac{2}{n - 1} \] Для натуральных значений необходимо $\frac{2}{n - 1}$ ∈ ℕ. Возможные случаи: $n - 1 = 1$ ($n = 2$) и $n - 1 = 2$ ($n = 3$).
   Ответ: 2, 3.
   
   
8. Отрезок $MK$ равен 9 см.
   Решение: Используя свойства внешних биссектрис и полупериметра треугольника, находим $MK = \frac{P_{ABC}}{2} = 9$ см.
   Ответ: 9 см.
   
   
9. Основания трапеции равны 10 см и 18 см.
   Решение: Для вписанной окружности в равнобокую трапецию сумма оснований равна сумме боковых сторон. При делении боковой стороны на 5 см и 9 см получаем основания $(2 \cdot 5)$ см и $(2 \cdot 9)$ см.
   Ответ: 10 см и 18 см.
   
   
10. Сторона $AC = 27$ см.
    Решение: По теореме о биссектрисе: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} \Rightarrow AC = \frac{12 \cdot 18}{8} = 27 \]
    Ответ: 27 см.