«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2019 год.

1. Решите уравнение: \[ \frac{10}{x^2-100} + \frac{x-20}{x^2+10x} - \frac{5}{x^2-10x} = 0. \]
2. Упростите выражение: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\;-\;\sqrt{5}. \]
3. Сократите дробь: \[ \frac{a^4 - a^2 - 12}{a^4 + 8a^2 + 15}. \]
4. Решите неравенство: \[ (x^2 - 10x + 25)(2x - 4)\le 0. \]
5. Не вычисляя корней уравнения \(2x^2 - 5x + 1 = 0\), найдите разность квадратов его корней.
6. Решите задачу. Две машинистки, работая вместе, печатают в час 44 страницы текста. Первая 25% двухсотстраничной рукописи печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась вторая, а последнюю 20% текста печатала только вторая машинистка. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка, если на перепечатывание всей рукописи ушло 6 ч 40 мин и первая машинистка работает быстрее второй?
7. Остаток от деления числа \(\alpha\) на 5 равен 4, а от деления на 7 равен 1. Чему равен остаток от деления числа \(\alpha\) на 35?
8. Точка \(P\) удалена на 12 см от центра окружности радиуса 15 см. Через точку \(P\) проведена хорда длиной 18 см. Найдите отрезки, на которые точка \(P\) делит эту хорду.
9. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна 8. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом \(120^\circ\). Найдите среднюю линию трапеции.
10. Биссектрисы \(BK\) и \(CM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(O\). Угол \(A\) равен \(60^\circ\). Найдите угол \(CMK\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{10}{x^2-100} + \frac{x-20}{x^2+10x} - \frac{5}{x^2-10x} = 0. \] Решение: Разложим знаменатели на множители: \[ \frac{10}{(x-10)(x+10)} + \frac{x-20}{x(x+10)} - \frac{5}{x(x-10)} = 0. \] Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x-10)(x+10)\): \[ 10x + (x-20)(x-10) - 5(x+10) = 0. \] Раскроем скобки и упростим: \[ 10x + x^2 - 30x + 200 -5x -50 = x^2 -25x + 150 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 -600}}{2} = \frac{25 \pm5}{2} \Rightarrow x=15, x=10. \] Проверяем допустимость: \(x=10\) не подходит (знаменатель обращается в ноль). Ответ: 15.
2. Упростите выражение: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{5}. \] Решение: Представим подкоренное выражение как квадрат суммы: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} +1. \] Тогда выражение упрощается: \[ \sqrt{5} +1 - \sqrt{5} = 1. \] Ответ: 1.
3. Сократите дробь: \[ \frac{a^4 - a^2 - 12}{a^4 + 8a^2 + 15}. \] Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ a^4 -a^2 -12 = (a^2 -4)(a^2 +3) = (a-2)(a+2)(a^2 +3); \] \[ a^4 +8a^2 +15 = (a^2 +3)(a^2 +5). \] Сокращаем общие множители: \[ \frac{(a-2)(a+2)(a^2 +3)}{(a^2 +3)(a^2 +5)} = \frac{a^2 -4}{a^2 +5}. \] Ответ: \(\dfrac{a^2 -4}{a^2 +5}\).
4. Решите неравенство: \[ (x^2 - 10x + 25)(2x - 4)\le 0. \] Решение: Преобразуем квадратичное выражение: \[ (x-5)^2 \cdot2(x-2) \le 0. \] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется когда: \[ x-2 \le0 \quad \text{или} \quad x=5. \] Решение: \(x \le2\) или \(x=5\). Ответ: \(x\in(-\infty;2] \cup \{5\}\).
5. Найдите разность квадратов корней уравнения \(2x^2 -5x +1 =0\). Решение: Используем формулы Виета: \[ x_1 + x_2 = \frac{5}{2}, \quad x_1 x_2 = \frac{1}{2}. \] Разность квадратов равна: \[ (x_1 -x_2)(x_1 +x_2) = \sqrt{(x_1 +x_2)^2 -4x_1x_2} \cdot (x_1 +x_2). \] Вычисляем: \[ \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 -2} \cdot \frac{5}{2} = \sqrt{\frac{25}{4} -2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{17}}{4}. \] Ответ: \(\dfrac{5\sqrt{17}}{4}\).
6. Решите задачу с машинистками. Решение: Обозначим скорости печати: первая — \(x\) стр/ч, вторая — \(y\) стр/ч. Составим систему: \[ \begin{cases} x + y =44,\\ \dfrac{50}{x} + \dfrac{110}{x+y} +\dfrac{40}{y} = \dfrac{20}{3}. \end{cases} \] Подставляем \(x =44 -y\): \[ \frac{50}{44 -y} + \frac{110}{44} +\frac{40}{y} = \frac{20}{3}. \] После упрощений получим \(x=24\) стр/ч, \(y=20\) стр/ч. Ответ: 24 стр/ч и 20 стр/ч.
7. Найдите остаток от деления \(\alpha\) на 35. Решение: Система сравнений: \[ \begin{cases} \alpha \equiv4 \pmod{5},\\ \alpha \equiv1 \pmod{7}. \end{cases} \] Решаем подстановкой: \(\alpha =5k +4\), подставляем во второе уравнение: \[ 5k +4 \equiv1 \pmod{7} \Rightarrow k \equiv5 \pmod{7}. \] Тогда \(\alpha=5(7m +5) +4=35m +29\), остаток от деления на35 равен29. Ответ:29.
8. Найдите отрезки хорды через точку \(P\). Решение: Используем теорему о произведении отрезков хорды: \[ PA \cdot PB = OP^2 -d^2, \] где \(d=12\) см, радиус \(r=15\) см: \[ PA \cdot PB =15^2 -12^2=81. \] При длине хорды \(18\) см: \[ PA =PB=9\text{ см}. \] Ответ:9 см и9 см.
9. Найдите среднюю линию трапеции. Решение: Поскольку трапеция вписанная и боковая сторона видна под120°, радиус окружности: \[ R=8/\sqrt{3}. \] Средняя линия равна половине суммы оснований и равна четверти периметра: \[ \frac{8}{2}=4. \] Ответ:4.
10. Найдите угол \(CMK\). Решение: Используем свойства инцентра и биссектрис. Угол \(CMK\) находится через углы треугольника \(CMK\), равного60°. Ответ:60°.