«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2018 год. Демоверсия

1. Сократите дробь: \[ \frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2}. \]
2. Упростите выражение: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} \;+\; \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2}. \]
3. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} \;-\; \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \;=\; \frac{1}{x - 1}. \]
4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})\,(2x - 7) < 0. \]
5. Не вычисляя корней уравнения \(3x^2 + 8x - 1 = 0\), найдите: \[ x_1x_2^3 + x_2x_1^3. \]
6. Решите задачу. В одном фермерском хозяйстве урожайность пшеницы с 1 га была на 3 ц больше, чем в другом. В результате во втором хозяйстве собрали на 95 ц пшеницы меньше, чем в первом, хотя под пшеницу было отведено на 5 га больше. Какова была урожайность пшеницы в каждом фермерском хозяйстве, если известно, что во втором всего было 1400 ц пшеницы?
7. Найдите все \(n \in \mathbb{N}\), при которых значение функции \[ f(n) \;=\; \frac{n^3 - 3n + 4}{n - 1} \] является натуральным числом.
8. Углы \(BAD\) и \(BCE\) — внешние углы треугольника \(ABC\). Из вершины \(B\) проведены перпендикуляры \(BM\) и \(BK\) к биссектрисам углов \(BAD\) и \(BCE\) соответственно. Найдите отрезок \(MK\), если периметр треугольника \(ABC\) равен 18,см.
9. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5,см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56,см.
10. Отрезок \(AK\) — биссектриса треугольника \(ABC\), \(AB = 12\),см, \(BK = 8\),см, \(CK = 18\),см. Найдите сторону \(AC\).

Решения задач

1. Сократите дробь: \[ \frac{4a^2 + a -3}{a^2 - a -2} \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
   Числитель: $4a² + a -3 = 4a² +4a -3a -3 = 4a(a +1) -3(a +1) = (4a -3)(a +1)$
   Знаменатель: $a² -a -2 = (a -2)(a +1)$
   Сократим дробь при $a ≠ -1$: \[ \frac{(4a -3)(a +1)}{(a -2)(a +1)} = \frac{4a -3}{a -2} \]
   Ответ: $\frac{4a -3}{a -2}$.
2. Упростите выражение: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} \;+\; \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2} \]
   Решение: Раскроем модули:
   $\sqrt{(\sqrt{15} - 4)²} = |\sqrt{15} - 4| = 4 - \sqrt{15}$ (так как $\sqrt{15} ≈ 3,87 < 4$)
   $\sqrt{(\sqrt{15} - 3)²} = |\sqrt{15} - 3| = \sqrt{15} - 3$ (так как $\sqrt{15} > 3$)
   Сумма: $4 - \sqrt{15} + \sqrt{15} -3 = 1$
   Ответ: 1.
3. Решите уравнение: \[ \frac{2x -7}{x² -9x +14} - \frac{1}{x² -3x +2} = \frac{1}{x -1} \]
   Решение: Разложим знаменатели на множители:
   $x² -9x +14 = (x -7)(x -2)$,
   $x² -3x +2 = (x -1)(x -2)$
   Перепишем уравнение: \[ \frac{2x -7}{(x -7)(x -2)} - \frac{1}{(x -1)(x -2)} = \frac{1}{x -1} \]
   Общий знаменатель: $(x -7)(x -1)(x -2)$
   Умножим все члены уравнения на общий знаменатель: \[ (2x -7)(x -1) - (x -7) = (x -7)(x -2) \]
   Раскроем скобки и упростим: \[ 2x² -10x +14 = x² -9x +14 \quad ⇒ \quad x² -x = 0 \quad ⇒ \quad x(x -1) = 0 \]
   Учитывая ОДЗ ($x ≠1,2,7$): подходит $x =0$
   Ответ: 0.
4. Решите неравенство: \[ (3 - \sqrt{10})(2x -7) <0 \]
   Решение: Так как \[3 - \sqrt{10} ≈ -0,16 0 \quad ⇒ \quad x >3,5 \]
   Ответ: $x \in (3,5; +\infty)$.
5. Найдите значение выражения $x_1x_2^3 +x_2x_1^3$ для корней уравнения $3x² +8x −1=0$.
   Решение: По теореме Виета: \[ x_1 +x_2 = −\frac{8}{3}, \quad x_1x_2 = -\frac{1}{3} \]
   Преобразуем выражение: \[ x_1x_2^3 +x_2x_1^3 =x_1x_2(x_1² +x_2²) \]
   Вычислим $x_1² +x_2² = (x_1 +x_2)^2 −2x_1x_2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 −2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{70}{9}$
   Подставим значения: \[ x_1x_2(x_1² +x_2²) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{70}{9} = -\frac{70}{27} \]
   Ответ: $- \frac{70}{27}$.
6. Два хозяйства сначала обрабатывали одинаковые площади. Урожайность пшеницы во втором хозяйстве ниже на 3 ц/га. После перераспределения земель второе хозяйство увеличило посевную на 5 га и собрало 1400 ц. Найдите урожайность хозяйств.
   Решение: Пусть урожайность первого — $x$ ц/га, второго — $(x −3)$ ц/га. После увеличения площади:
   Для второго хозяйства: $(S +5)(x −3) =1400$
   Для первого хозяйства: $3S −5x =80$
   Решая систему уравнений, находим:
   $x =23$ ц/га (первое), $x −3 =20$ ц/га (второе).
   Ответ: 23 ц/га и 20 ц/га.
7. Найдите все натуральные $n$, при которых значение выражения $\frac{n³ −3n +4}{n −1}$ — натуральное число.
   Решение: Выполним деление многочленов:
   $\frac{n³ −3n +4}{n −1} =n² +n −2 + \frac{2}{n −1}$
   Для натуральности выражения $\frac{2}{n −1}$ должно быть целым:
   $n −1 ∈ \{1,2\} ⇒n =2$ или $n =3$
   Ответ: 2, 3.
8. Периметр треугольника равен 18 см. Найдите отрезок $MK$, соединяющий середины сторон.
   Решение: Отрезок, соединяющий середины сторон (средняя линия), равен полупериметру:
   $MK = \frac{P}{2} =9$ см
   Ответ: 9 см.
9. Основания трапеции относятся как 5:9, а отрезок касательной равен 5 см. Найдите основания.
   Решение: Сумма оснований трапеции равна $5k +9k =14k$. Средняя линия равна 7k. По свойству касательной:
   $7k =5·2 ⇒k =2$
   Основания: $5k =10$ см и $9k =18$ см
   Ответ: 10 см и 18 см.
10. В треугольнике $ABC$ биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки $BK=8$ см и $KC=18$ см. Найдите $AC$, если $AB=12$ см.
    Решение: Используя теорему о биссектрисе: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} ⇒\frac{12}{AC} = \frac{8}{18} ⇒AC =\frac{12·18}{8}=27\text{ см} \]
    Ответ: 27 см.