«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2025 год

1. Вычислите \[ \sqrt{\,1 \cdot\frac{9}{16}\cdot 0{,}81 - 1 \cdot \frac{9}{16}\cdot 0{,}17\,}. \]
   
   
2. Решите уравнения:
   1. $(2 - x)(x + 2) + 2x = (x - 2)(4 + x)$;
   2. $4x^4 + 7x^2 - 18 = 0$.
   
   
   
3. Постройте график функции \[ y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} - 3. \]
   
   
4. Две трубы наполняют бассейн за 6 часов 18 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
   
   
5. 1. Известно, что \(a \in [3;11]\) и \(b \in [-10;14]\). Какие значения принимает выражение \[ \frac{1}{a} + b^2? \]
   2. Решите неравенство \[ \frac{x^2 + 6}{x^2 - 2x - 8} \le -1. \]
   
   
   
6. При каких \(a\) уравнение \[ (a - 4)x^2 - 2(a - 3)x + a = 0 \] имеет положительные корни или положительный корень?
   
   
7. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как \(2:1\), считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны?
   
   
8. На сторонах \(AC\) и \(AB\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(D\) и \(P\) так, что \(CD:DA = 6:1\), \(AP:PB = 3:2\). В каком отношении прямая \(DP\) делит медиану \(AM\)?
   
   
9. В трапеции сумма оснований равна одной из боковых сторон. Докажите, что биссектриса угла, прилежащего к этой боковой стороне, пересекает вторую боковую сторону в её середине.
   
   
10. Решите в целых числах уравнение \[ (x - 2)(xy + 4) = 1. \]

Решения задач

1. Вычислите \[ \sqrt{\,1 \cdot\frac{9}{16}\cdot 0{,}81 - 1 \cdot \frac{9}{16}\cdot 0{,}17\,}. \]
   Решение: Вынесем общий множитель: \[ \sqrt{\frac{9}{16} \cdot (0{,}81 - 0{,}17)} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 0{,}64} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]
   Ответ: \(0{,}6\).
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \((2 - x)(x + 2) + 2x = (x - 2)(4 + x)\)
      Решение: \[ 4 - x^2 + 2x = x^2 + 2x - 8 \] Перенос всех слагаемых влево: \[ 12 = 2x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{6} \]
      Ответ: \(\pm\sqrt{6}\).
      
      
   2. \(4x^4 + 7x^2 - 18 = 0\)
      Решение: Замена \(y = x^2\): \[ 4y^2 + 7y - 18 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 49 + 288 = 337 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-7 \pm \sqrt{337}}{8} \] Т.к. \(y = x^2 \ge 0\), подходит только \(y = \frac{-7 + \sqrt{337}}{8}\): \[ x = \pm\sqrt{\frac{-7 + \sqrt{337}}{8}} \]
      Ответ: \(\pm\sqrt{\frac{-7 + \sqrt{337}}{8}}\).
   
   
   
3. Постройте график функции \[ y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} - 3. \]
   Решение: Преобразуем выражение под корнем: \[ \sqrt{(x - 2)^2} - 3 = |x - 2| - 3. \] График состоит из двух лучей: \[ y = \begin{cases} x - 5, & x \ge 2 \\ -x - 1, & x < 2 \end{cases} \]
   Ответ: V-образный график с вершиной в точке \((2; -3)\).
   
   
4. Две трубы наполняют бассейн за 6 часов 18 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
   Решение: Пусть скорость первой трубы \(\frac{1}{9}\) бассейна/час. Совместная скорость: \[ \frac{1}{6{,}3} - \frac{1}{9} = \frac{10}{63} - \frac{7}{63} = \frac{3}{63} = \frac{1}{21} \]
   Ответ: за 21 час.
   
   
5. 1. Значения \(\frac{1}{a} + b^2\) при \(a \in [3;11]\), \(b \in [-10;14]\):
      Решение: \[ \frac{1}{a} \in \left[\frac{1}{11}; \frac{1}{3}\right], \quad b^2 \in [0; 196] \] Минимум: \(\frac{1}{11} + 0 = \frac{1}{11}\), Максимум: \(\frac{1}{3} + 196 = 196\frac{1}{3}\).
      Ответ: \(\left[\frac{1}{11}; 196\frac{1}{3}\right]\).
      
      
   2. Решите неравенство \[ \frac{x^2 + 6}{x^2 - 2x - 8} \le -1. \]
      Решение: \[ \frac{2x^2 - 2x - 2}{(x - 4)(x + 2)} \le 0 \] Корни числителя: \(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\), знаменателя: \(x = -2\), \(x = 4\). Метод интервалов: \[ x \in [-2; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 4) \]
      Ответ: \([-2; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 4)\).
   
   
   
6. При каких \(a\) уравнение \[ (a - 4)x^2 - 2(a - 3)x + a = 0 \] имеет положительные корни или положительный корень?
   Решение: При \(a = 4\) корень \(x = 2 > 0\) — подходит. Для \(a \neq 4\): \[ D = 4( -2a + 9 ) \ge 0 \quad \Rightarrow \quad a \le \frac{9}{2} \] При \(a < 0\) корни положительны. При \(4 < a \le \frac{9}{2}\) корни положительны.
   Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup [4; \frac{9}{2}]\).
   
   
7. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника \(2:1\).
   Решение: Отношение подобия корень из \(\frac{1}{3}\). Отрезки боковых сторон: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} : \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 : (\sqrt{3} - 1) \]
   Ответ: \(1 : (\sqrt{3} - 1)\).
   
   
8. Отношение деления медианы \(AM\) прямой \(DP\):
   Решение: Координатный метод. Точка пересечения делит \(AM\) как \(3:10\).
   Ответ: \(3:10\).
   
   
9. Доказательство для трапеции: сумма оснований равна боковой стороне.
   Применение теоремы о биссектрисе и свойств трапеции.
   Ответ: Биссектриса делит вторую боковую сторону пополам.
   
   
10. Решите уравнение в целых числах: \[ (x - 2)(xy + 4) = 1. \]
    Решение: \[ \begin{cases} x - 2 = 1 \\ xy + 4 = 1 \end{cases} \Rightarrow (3, -1); \quad \begin{cases} x - 2 = -1 \\ xy + 4 = -1 \end{cases} \Rightarrow (1, -5) \]
    Ответ: \((3, -1)\), \((1, -5)\).