«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2023 год

1. Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию \[ \frac{(x-1)(y-3)(y-2x)}{x-2} = 0. \]
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{30}{x^2 - 1} + \frac{7 - 18x}{x^2 + 1} = \frac{13}{x^2 - x + 1}. \]
   
   
3. Найдите все значения $x$, при которых выражение \[ x^2 - 3 + \frac{x^5 - 1}{\sqrt{x^2 - 4}} - \sqrt{(x-7)(x+1)} + 12 \] не имеет смысла.
   
   
4. В сплав меди и алюминия, содержащий 22 кг алюминия, добавили 15 кг меди; после чего содержание меди в сплаве повысилось на $33\%$. Сколько изначально весил сплав?
   
   
5. Не решая уравнения $3x^2 - 5x - 1 = 0$, составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого будут на 1 меньше корней исходного уравнения.
   
   
6. При каких значениях $a$ уравнение \[ x^2 - (2a - 1)x + 1 - a = 0 \] имеет два различных действительных положительных корня?
   
   
7. Биссектриса внешнего угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $L$. Докажите, что \[ AB : AC = LB : LC. \]
   
   
8. Основания трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) равны 12 и 4 соответственно. С концами на боковых сторонах трапеции провели отрезок $PE$, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции. Найдите длину $PE$.
   
   
9. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 и 10.
   
   
10. В окружности с радиусом 25 провели две параллельные хорды, длины которых равны 14 и 48. Найдите расстояние между этими хордами.

Решения задач

1. Постройте график уравнения: \[ \frac{(x-1)(y-3)(y-2x)}{x-2} = 0 \] Решение: Функция равна нулю, когда числитель равен 0 (при условии, что знаменатель не обращается в ноль):
   1. \( x-1=0 \Rightarrow x=1 \) (вертикальная прямая)
   2. \( y-3=0 \Rightarrow y=3 \) (горизонтальная прямая)
   3. \( y-2x=0 \Rightarrow y=2x \) (прямая)
   4. Исключаем точку \( x=2 \)
   Ответ: Объединение прямых \( x=1 \), \( y=3 \), \( y=2x \) без точки \( (2;4) \)
   
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{30}{x^2 - 1} + \frac{7 - 18x}{x^2 + 1} = \frac{13}{x^2 - x + 1} \] Решение:
   1. Замена \( t = x^2 \)
   2. Приводим к общему знаменателю \( (t-1)(t+1)(t^2 -x +1) \)
   3. Решаем числитель: \[ 30(t+1)(t-x+1) + (7-18x)(t-1)(t-x+1) = 13(t^2-1) \]
   4. При \( x = 0 \): удовлетворяет уравнению
   5. При \( x = 1 \): проверка показывает ложно
   Ответ: \( x=0 \)
   
   
   
3. Найти точки неопределённости выражения: \[ x^2 - 3 + \frac{x^5 - 1}{\sqrt{x^2 - 4}} - \sqrt{(x-7)(x+1)} + 12 \] Решение:
   1. \( x^2 - 4 > 0 \Rightarrow |x| > 2 \)
   2. \( (x-7)(x+1) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty) \)
   3. Наибольшее ограничение на \( x \in (-\infty; -2) \cup [7; +\infty) \)
   Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [7; +\infty) \)
   
   
   
4. Задача на сплавы: Пусть начальная масса сплава \( M \):
   1. Медь в исходном сплаве: \( M - 22 \) кг
   2. Новая масса меди: \( M - 22 + 15 = M -7 \) кг
   3. Новый процент меди: \[ \frac{M-7}{M+15} - \frac{M-22}{M} = 0.33 \]
   4. Решаем уравнение: \( M = 55 \) кг
   Ответ: 55 кг
   
   
   
5. Составить уравнение с корнями \( \alpha-1 \) и \( \beta-1 \):
   1. Исходное уравнение: \( 3x^2 -5x -1 = 0 \)
   2. Теорема Виета: \( \alpha+\beta = \frac{5}{3} \), \( \alpha\beta = -\frac{1}{3} \)
   3. Новые корни: сумма \( \alpha+\beta -2 = -\frac{1}{3} \), произведение \( (\alpha-1)(\beta-1) = -1 \)
   4. Уравнение: \( 3x^2 + x -3 = 0 \)
   Ответ: \( 3x^2 + x -3 = 0 \)
   
   
   
6. Определить \( a \): Условия:
   1. Дискриминант \( D = (2a-1)^2 -4(1-a) >0 \)
   2. Сумма корней \( 2a-1 > 0 \)
   3. Произведение корней \( 1-a > 0 \)
   4. Решение: \( a \in (\frac{1}{2};1) \)
   Ответ: \( a \in (\frac{1}{2};1) \)
   
   
   
7. Доказательство соотношения \( AB : AC = LB : LC \):
   1. Биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону пропорционально соседним сторонам
   2. Теорема о внешней биссектрисе: \( \frac{LB}{LC} = \frac{AB}{AC} \)
   Ответ: доказано
   
   
   
8. Длина отрезка \( PE \) в трапеции:
   1. Средняя линия через точку пересечения диагоналей
   2. Формула: \( PE = \frac{2 \cdot AD \cdot BC}{AD + BC} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{16} = 6 \)
   Ответ: 6
   
   
   
9. Радиус вписанной окружности:
   1. Высота трапеции \( h = \sqrt{(a+b)^2 - c^2} \) \( c = \frac{10-2}{2} =4 \)
   2. Радиус \( r = \frac{h}{2} = \sqrt{4^2 + h^2} \)
   3. Ответ: \( r = 4 \)
   Ответ: 4
   
   
   
10. Расстояние между хордами:
    1. Расстояние от центра до хорд: \[ d_1 = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24, \quad d_2 = \sqrt{25^2 -24^2} =7 \]
    2. Расстояние между хордами: \( 24 +7 =31 \) или \( 24 -7 =17 \)
    3. Проверка: 48<2R, значит возможны оба варианта
    Ответ: 17 и 31